[论文解读] Approximation of BEM matrices using GPGPUs

Steffen Börm, Sven Christophersen|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2015

Electromagnetic Scattering and Analysis被引用 8

一句话总结

本文提出一种混合CPU-GPU算法，通过将可向量化计算的近场运算和远场压缩组件卸载到消费级GPGPU上，加速边界元法（BEM）矩阵的组装，与四核CPU相比，3D拉普拉斯方程和赫姆霍兹方程的设置时间实现了19-30倍的加速。

ABSTRACT

The efficiency of boundary element methods depends crucially on the time required for setting up the stiffness matrix. The far-field part of the matrix can be approximated by compression schemes like the fast multipole method or $\mathcal{H}$-matrix techniques. The near-field part is typically approximated by special quadrature rules like the Sauter-Schwab technique that can handle the singular integrals appearing in the diagonal and near-diagonal matrix elements. Since computing one element of the matrix requires only a small amount of data but a fairly large number of operations, we propose to use GPUs to handle vectorizable portions of the computation: near-field computations are ideally suited for vectorization and can therefore be handled very well by GPUs. Modern far-field compression schemes can be split into a small adaptive portion that exhibits divergent control flows and is handled by the CPU and a vectorizable portion that can again be sent to GPUs. We propose a hybrid algorithm that splits the computation into tasks for CPUs and GPUs. Our method presented in this article is able to speedup the setup time of boundary integral operators by a significant factor of 19-30 for both the Laplace and the Helmholtz equation in 3D when using two consumer GPGPUs compared to a quad-core CPU.

研究动机与目标

• 解决边界元法（BEM）中组装刚度矩阵的高计算成本，特别是针对3D问题。
• 克服BEM应用中昂贵的近场积分和矩阵压缩带来的性能瓶颈。
• 利用GPU的海量并行性，加速BEM矩阵组装中可向量化的部分，同时将发散控制流卸载至CPU。
• 设计一种混合算法，高效划分CPU与GPU之间的计算任务，以最大化性能，同时不牺牲精度。

提出的方法

• 使用GPU加速近场矩阵条目的计算，这些条目本质上是可向量化的，且每个条目都需要密集的算术运算。
• 应用Sauter-Schwab积分技术，以高精度处理近场矩阵条目中的奇异积分。
• 将远场压缩分为两部分：由CPU处理的具有发散控制流的小型自适应部分，以及卸载至GPU的可向量化部分。
• 结合快速多极子方法（FMM）或H-矩阵技术实现远场矩阵近似，并对可向量化组件应用GPU加速。
• 设计一种混合任务调度策略，平衡CPU与GPU之间的负载，最小化数据传输开销并最大化吞吐量。
• 在两块消费级GPGPU上实现该算法，以评估其在真实3D BEM场景中的性能提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 GPU加速能否显著减少3D BEM模拟中边界积分算子的设置时间？
• RQ2 与纯CPU实现相比，混合CPU-GPU方法在BEM矩阵组装中的性能表现如何？
• RQ3 BEM矩阵计算中的哪些部分最适于GPU加速，以及如何有效划分？
• RQ4 在不损害数值精度的前提下，远场压缩的可向量化组件在GPU上能实现多大程度的加速？
• RQ5 与四核CPU相比，使用两块消费级GPGPU在拉普拉斯方程和赫姆霍兹方程上可实现多大的矩阵组装时间加速？

主要发现

• 所提出的混合CPU-GPU算法与四核CPU相比，实现了19-30倍的加速，显著提升了3D拉普拉斯与赫姆霍兹方程边界积分算子的设置时间。
• 近场矩阵计算（高度可向量化）在GPU上被高效加速，对整体性能提升贡献显著。
• 远场压缩组件成功划分为具有发散控制流的部分（CPU）和可向量化部分（GPU），实现了GPU的高效利用。
• 通过保留Sauter-Schwab等成熟积分规则，该方法保持了高数值精度，尤其适用于奇异积分。
• 性能提升在拉普拉斯方程与赫姆霍兹方程上均保持一致，证明了其在椭圆型PDE中的广泛适用性。
• 使用两块消费级GPGPU即可实现显著加速，无需专用硬件，使该方法在工程与科学计算的高性能计算中具有实际可行性。