[论文解读] Approximation of classes of analytic functions by de la Vallee Poussin sums in uniform metric

A. S. Serdyuk, Ie. Yu. Ovsii+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文建立了在一致范数下，通过de la Vallée Poussin求和对由$(\psi,\beta)$-可微性及解析延拓至复带域定义的解析函数类的最佳逼近的渐近等式。关键结果以$\psi(n-p+1)$、$q^{n-p+1}$及核相关的积分形式量化了收敛速率，给出了依赖于$p$、$q$及光滑性模的显式误差界。

ABSTRACT

In this paper asymptotic equalities are found for the least upper bounds of deviations in the uniform metric of de la Vallee Poussin sums on classes of 2π-periodic (ψ,β)-differentiable functions admitting an analytic continuation into the given strip of the complex plane. As a consequence, asymptotic equalities are obtained on classes of convolutions of periodic functions generated by the Neumann kernel and the polyharmonic Poisson kernel.

研究动机与目标

• 推导$2\pi$-周期函数在$C^\psi_\beta \mathfrak{N}$类中，通过de la Vallée Poussin求和在一致范数下的最佳逼近的渐近等式。
• 将先前关于$\mathcal{E}(C^\psi_\beta \mathfrak{N}; V_{n,p})$的结果从$\psi \in D_0$（整函数）的情形推广至$\psi \in D_q$，$q \in (0,1)$的情形，对应于在带域内解析的函数。
• 分析由Neumann核与多调和Poisson核生成的类的逼近问题，显式依赖于$p$、$n$及光滑性参数。
• 提供涉及$q^{n-p+1}$、$\psi(n-p+1)$及加权于$[0, \pi/2]$上的积分的精确误差估计，权重为$\sin t$与连续模$\omega(t)$。

提出的方法

• 将$C^\psi_\beta \mathfrak{N}$定义为具有$(\psi,\beta)$-导数的$2\pi$-周期函数类，其属于$L_s$或$C$，其中$\psi \in D_q$，$q \in (0,1)$，这意味着函数可解析延拓至$|\operatorname{Im} z| \leq \ln(1/q)$。
• 使用de la Vallée Poussin求和$V_{n,p}(f;x) = \frac{1}{p} \sum_{k=n-p}^{n-1} S_k(f;x)$作为逼近算子，其中$p = p(n) \leq n$。
• 建立$\mathcal{E}(C^\psi_\beta \mathfrak{N}; V_{n,p})$与包含$\mathbf{K}(q^p)$、$K_{q,p}(s')$及$\int_0^{\pi/2} t^\alpha \sin t \, dt$的核相关积分的渐近等价性，乘以$\psi(n-p+1)$。
• 利用已知的$\mathcal{E}(C^q_\beta \mathfrak{N}; S_{n-1})$的渐近展开，并通过$\psi(n) q^{-n}$进行缩放，推导出一般$\psi \in D_q$的情形。
• 应用对$\varepsilon_n = \sup_{k \geq n} |\psi(k+1)/\psi(k) - q|$的估计，以控制渐近展开中误差项的大小。
• 推导Neumann核（$\psi(k) = q^k/k$）与多调和Poisson核（$\psi_m(k)$）的显式公式，包括各自的$\varepsilon_n$界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$n-p \to \infty$时，对于$\psi \in D_q$，$q \in (0,1)$，最佳逼近误差$\mathcal{E}(C^\psi_\beta \mathfrak{N}; V_{n,p})$的渐近行为是什么？
• RQ2 对于$C^\psi_\beta \mathfrak{N}$类，逼近速率如何依赖于参数$p$与衰减率$q$？
• RQ3 当$\mathfrak{N} = U_s^0$或$\mathfrak{N} = H_\omega$时（其中$\omega$为凸连续模），逼近误差的精确渐近表达式是什么？
• RQ4 Neumann核（$\psi(k) = q^k/k$）与多调和Poisson核（$\psi_m(k)$）在$m$与$q$依赖性上的结果有何不同？
• RQ5 $\varepsilon_n = \sup_{k \geq n} |\psi(k+1)/\psi(k) - q|$在渐近展开误差项中起什么作用？

主要发现

• 对于$\mathfrak{N} = U_s^0$，$1 \leq s \leq \infty$，渐近等式为$\mathcal{E}(C^\psi_{\beta,s}; V_{n,p}) = \frac{\psi(n-p+1)}{p(n-p+1)^\alpha} \left( \frac{2^{2+\alpha}}{\pi^2} \frac{1-q^{2p}}{1-q^2} \mathbf{K}(q^p) \int_0^{\pi/2} t^\alpha \sin t \, dt + O(1) \left( \frac{1}{(1-q)^{\gamma(p)}(n-p+1)^{1-\alpha}} + \frac{\varepsilon_{n-p+1}}{(1-q)^2} \min\{p, (1-q)^{-1}\} \right) \right)$。
• 对于$\mathfrak{N} = H_\omega$，渐近表达式为$\mathcal{E}(C^\psi_{\beta}H_\omega; V_{n,p}) = \frac{\psi(n-p+1)}{p(n-p+1)^\alpha} \left( \frac{4}{\pi^2} \frac{1-q^{2p}}{1-q^2} \mathbf{K}(q^p) \int_0^{\pi/2} \omega\left(\frac{2t}{n-p+1}\right) \sin t \, dt + O(1) \left( \frac{\omega(\pi)}{(1-q)^{\gamma(p)}} + \frac{\varepsilon_{n-p+1}}{(1-q)^2} \min\{p, (1-q)^{-1}\} \omega\left(\frac{1}{n-p+1}\right) \right) \right)$。
• 对于Neumann核（$\psi(k) = q^k/k$），有$\varepsilon_{n-p+1} = \frac{q}{n-p+2}$，从而得到$\mathcal{E}(C^{q/k}_{\beta,s}; V_{n,p}) = \frac{q^{n-p+1}}{p(n-p+1)} \left( \frac{\|\cos t\|_{s'}}{\pi^{1+1/s'}} K_{q,p}(s') + O(1) \left( \frac{1}{(n-p+1)} \left( \frac{1}{(1-q)^{\sigma(s',p)}} + \frac{q}{(1-q)^2} \min\{p, (1-q)^{-1}\} \right) \right) \right)$。
• 对于多调和Poisson核（$\psi_m(k)$），渐近误差包含因子$1 + \sum_{j=1}^{m-1} \frac{(1-q^2)^j}{j! 2^j} \prod_{l=0}^{j-1} (n-p+1 + 2l)$，反映了核的阶数$m$。
• 误差项在$n$、$p$、$q$、$s$、$\omega$与$\beta$上一致有界，且$O(1)$项与$n-p$无关。
• 结果将先前关于$S_{n-1}$（即$p=1$）的工作推广至一般$p \geq 1$，并将适用范围从整函数（$\psi \in D_0$）扩展至在带域内解析的函数（$\psi \in D_q$，$q \in (0,1)$）。