[论文解读] Approximation of Linear Differential Equations with variable delay on an Infinite Interval

Daniel Sepúlveda|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了一种分段常数参数离散化方法，用于近似在无限区间上具有变延迟的非自治线性微分方程。建立了连续系统到相应离散差分方程之间解的统一逼近及一致渐近稳定性传递的充分条件，通过采用Halanay不等式的积分形式，改进了Cooke与Gy"{o}ri（1994）的结果。

ABSTRACT

We study approximation of non-autonomous linear differential equations with variable delay over infinite intervals. We use piecewise constant argument to obtain a corresponding discrete difference equation. The study of numerical approximation over an unbounded interval is in correspondence with the problem of transference of qualitative properties between a continuous and the corresponding discrete dynamical systems. We use theory of differential equations with delay and theory of integral inequality to prove our main result. We state sufficient conditions for: a) uniform approximation of solutions over an unbounded interval and b) transference of uniform asymptotic stability of non-autonomous linear differential equations with variable delay to the corresponding discrete difference equations. We improve and extended the results of \cite{cooke1994}.

研究动机与目标

• 研究非自治线性微分方程在无限时间区间上具有变延迟的数值逼近。
• 建立在区间 [0, ∞) 上近似解统一收敛的充分条件。
• 研究连续时滞微分方程的零解一致渐近稳定性向离散差分方程的传递性。
• 通过采用Halanay不等式的积分形式，拓展并改进先前结果，特别是Cooke与Gy"{o}ri（1994）的研究。
• 为神经网络和参数辨识等应用中此类系统的可靠数值模拟提供理论基础。

提出的方法

• 使用分段常数参数将具有变延迟的连续线性微分方程转化为相应的离散差分方程。
• 应用Halanay不等式的积分形式分析稳定性与误差动力学。
• 分析误差函数 $ E_h(t) $，表明其满足一个非齐次函数微分方程。
• 对系数函数 $ a(t) $ 和延迟函数 $ r(t) $ 建立条件，以确保稳定性与收敛性。
• 结合时滞微分方程理论与积分不等式，推导出统一逼近与稳定性传递的充分条件。
• 通过一个包含振荡系数与时变延迟的具体例子验证了所得结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，分段常数参数离散化方法能对 [0, ∞) 上具有变延迟的非自治线性微分方程的解实现统一逼近？
• RQ2 连续系统的零解的一致渐近稳定性在对应离散差分方程中何时得以保持？
• RQ3 Halanay不等式如何被调整以分析具有变延迟系统中的误差动力学与稳定性传递？
• RQ4 为确保统一逼近与稳定性传递，$ a(t) $ 与 $ r(t) $ 需满足哪些充分条件？
• RQ5 该方法相较于先前结果（如Cooke与Gy"{o}ri，1994）有何改进？

主要发现

• 建立了充分条件，使得连续系统的解在 [0, ∞) 上被离散差分方程的解一致逼近。
• 根据Yorke定理，当 $ 0 < a(t) ≤ \alpha $ 且 $ \alpha q < \frac{3}{2} $ 时，连续系统的零解是一致渐近稳定的。
• 在相同条件下，离散系统 $ \mathfrak{z}_h(n+1) = \mathfrak{z}_h(n) - \mathfrak{a}_h(n) \mathfrak{z}_h(n - k_n) $ 继承了连续系统的统一渐近稳定性。
• 通过Halanay不等式的积分形式，证明了连续解与离散解之间的误差呈指数衰减。
• 该方法成功处理了时变延迟与非自治系数，如在 $ a(t) = 1 + \frac{\sin(t)}{3} $ 与 $ r(t) = |\cos(t)| $ 的例子中所示。
• 结果拓展并改进了Cooke与Gy"{o}ri（1994）的研究，尤其在变延迟与非自治系统背景下。