[论文解读] Approximation of Lipschitz functions by $\Delta$-convex functions in Banach spaces

Manuel Cepedello Boiso|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 1997

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用 13

一句话总结

本文证明了：一个巴拿赫空间是超反射的，当且仅当其上的每个利普希茨函数都能在有界集上被凸函数的差（Δ-凸函数）一致逼近。作者基于范数严格强凸性给出了显式逼近公式，证明在超反射空间中，利普希茨函数能在整个空间上被Δ-凸函数一致逼近，且收敛速率与范数的凸性模的幂类型相关。

ABSTRACT

In this paper we give some results about the approximation of a Lipschitz function on a Banach space by means of $\Delta$-convex functions. In particular, we prove that the density of $\Delta$-convex functions in the set of Lipschitz functions for the topology of uniform convergence on bounded sets characterizes the superreflexivity of the Banach space. We also show that Lipschitz functions on superreflexive Banach spaces are uniform limits on the whole space of $\Delta$-convex functions.

研究动机与目标

• 通过在有界集上关于一致收敛的拓扑，刻画超反射巴拿赫空间中Δ-凸函数在利普希茨函数空间中的稠密性。
• 通过确定此类逼近成立的必要与充分条件，将光滑逼近结果推广至Δ-凸函数。
• 在超反射空间中，为利普希茨函数被Δ-凸函数一致逼近提供显式、可计算的逼近公式，确保在整个空间上的一致收敛。
• 证明在最小的超反射空间（如ℓp，1 < p < ∞）中，若利普希茨函数的振荡稳定性不成立，则凸函数的振荡稳定性也不成立。

提出的方法

• 提出一个由 fn(x) := inf_y∈X [f(y) + n(2‖x‖² + 2‖y‖² - ‖x + y‖²)] 定义的Δ-凸函数序列，其中 f 是给定的利普希茨函数。
• 通过将 fn 分解为 fn = cn - dn 的形式，其中 cn(x) = 2n‖x‖²，dn(x) = sup_y [n‖x + y‖² - 2n‖y‖² - f(y)]，证明每个 fn 是Δ-凸函数。
• 利用范数的凸性模控制下确界中 x 与 y 之间的距离，将收敛性与范数的幂类型 p 联系起来。
• 在非超反射空间的单位球中使用二叉树构造一个不能被有界凸函数之差一致逼近的1-利普希茨函数。
• 应用詹姆斯的有限树性质和商空间技术，通过归纳法在非超反射空间中构造嵌套的、相互分离的二叉树。
• 在树的分支上使用两步算法论证，表明任何此类逼近都将迫使凸函数在单位球上无界，从而与有界性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个巴拿赫空间满足什么必要与充分条件，可使其上的利普希茨函数在有界集上被Δ-凸函数一致逼近？
• RQ2 在超反射空间中，能否为利普希茨函数被Δ-凸函数一致逼近构造显式公式，且在全空间上收敛？
• RQ3 范数的严格强凸性如何影响利普希茨函数的Δ-凸逼近的收敛速率？
• RQ4 在最小的超反射空间（如ℓp，1 < p < ∞）中，若存在一个非振荡稳定的利普希茨函数，是否意味着存在一个非振荡稳定的凸函数？
• RQ5 能否利用利普希茨函数不能被有界凸函数之差一致逼近这一事实，来刻画非超反射巴拿赫空间？

主要发现

• 一个巴拿赫空间 X 是超反射的，当且仅当其上的每个利普希茨函数都能在有界集上被有界于有界集的凸函数之差一致逼近。
• 在超反射巴拿赫空间中，通过所提出的公式，每个利普希茨函数在整个空间上被Δ-凸函数一致逼近，且收敛性取决于范数凸性模的幂类型。
• 逼近公式 fn(x) = inf_y [f(y) + n(2‖x‖² + 2‖y‖² - ‖x + y‖²)] 生成的Δ-凸函数在范数一致凸时，关于τb收敛于 f。
• 对于局部一致凸的范数，同一公式产生关于τκ收敛于 f 的结果。
• 在非超反射空间中，存在一个定义在 X 上的1-利普希茨函数 f，使得对任意在单位球上连续且有界的凸函数 c, d，有 sup_x∈BX |f(x) - (c - d)(x)| ≥ 1/4。
• 构造一个不能被有界凸函数之差一致逼近的1-利普希茨函数，依赖于非超反射空间单位球中无限多个相互分离的二叉树序列，若此类逼近存在，将导致矛盾。