[论文解读] Approximation of mixed order Sobolev functions on the $d$-torus -- Asymptotics, preasymptotics and $d$-dependence

Thomas Kuehn, Winfried Sickel+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2013

Mathematical Approximation and Integration参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文研究了在 $d$-环面上的具有主导混合光滑度的 Sobolev 空间中 $d$-变量周期函数的逼近问题，重点关注逼近数的渐近行为与预渐近行为及其对维度 $d$ 的依赖性。研究建立了在固定光滑度 $s>0$ 下逼近常数关于 $d$ 的超指数衰减，并证明了逼近问题的拟多项式可 tractability，解决了高维数值分析中的关键问题。

ABSTRACT

We investigate the approximation of $d$-variate periodic functions in Sobolev spaces of dominating mixed (fractional) smoothness $s>0$ on the $d$-dimensional torus, where the approximation error is measured in the $L_2-$norm. In other words, we study the approximation numbers of the Sobolev embeddings $H^s_{ m mix}(\mathbb{T}^d)\hookrightarrow L_2(\mathbb{T}^d)$, with particular emphasis on the dependence on the dimension $d$. For any fixed smoothness $s>0$, we find the exact asymptotic behavior of the constants as $d o\infty$. We observe super-exponential decay of the constants in $d$, if $n$, the number of linear samples of $f$, is large. In addition, motivated by numerical implementation issues, we also focus on the error decay that can be achieved by low rank approximations. We present some surprising results for the so-called ``preasymptotic'' decay and point out connections to the recently introduced notion of quasi-polynomial tractability of approximation problems.

研究动机与目标

• 研究 Sobolev 空间在 $d$-环面上的混合光滑度下，逼近数对维度 $d$ 的依赖性。
• 阐明高维情形下逼近速率的渐近行为与预渐近行为。
• 建立逼近问题的可 tractability 性质，特别是拟多项式可 tractability。
• 提供依赖于 $d$ 和 $s$ 的显式、精确的逼近速率估计常数。

提出的方法

• 推导出当 $n \to \infty$ 时，固定 $s > 0$ 下逼近数 $a_n(I_d)$ 的精确渐近行为，表明其收敛于 $\left[\frac{2^d}{(d-1)!}\right]^s (\ln n)^{(d-1)s} n^{-s}$。
• 利用希尔伯特空间之间紧算子的谱分析与奇异值分解，将逼近数表征为奇异值。
• 采用组合估计与多指标和的界，控制逼近误差分解中项数的增长。
• 通过推导达到误差 $\varepsilon$ 所需最小样本数 $n(\varepsilon, d)$ 的界，应用拟多项式可 tractability 的概念，证明 $\ln n(\varepsilon, d) \leq C \ln(\varepsilon^{-1})(1 + \ln d)$。
• 比较 $H^{s}_{\rm mix}(\mathbb{T}^d)$ 上不同等价范数，表明上界中的常数 $C_s(d)$ 以 $\left[\frac{\lambda^d}{(d-1)!}\right]^s$ 的形式随 $2 \leq \lambda \leq 6$ 超指数衰减，具体取决于范数。
• 建立与张量积结构的联系，并利用张量积算子的已知结果，从一维行为推导出可 tractability。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，对于固定的 $s > 0$ 且 $d$ 增大，逼近数 $a_n(I_d)$ 的精确渐近行为是什么？
• RQ2 在预渐近区域中，逼近误差如何衰减，特别是当 $n \leq 4^d$ 时，这对实际算法有何含义？
• RQ3 逼近常数对维度 $d$ 的依赖性如何？其是否呈现超指数衰减？
• RQ4 逼近问题是否具有拟多项式可 tractability？这与维度灾难有何关联？
• RQ5 不同等价范数在 $H^s_{\rm mix}(\mathbb{T}^d)$ 上如何影响逼近速率估计中的常数？

主要发现

• 逼近数满足 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^s a_n(I_d)}{(\ln n)^{(d-1)s}} = \left[\frac{2^d}{(d-1)!}\right]^s$，表明其具有精确的渐近行为，并在 $d$ 上呈现超指数衰减。
• 逼近速率上界中的常数 $C_s(d)$ 为 $\left[\frac{\lambda^d}{(d-1)!}\right]^s$，其中 $2 \leq \lambda \leq 6$，表明在固定 $s > 0$ 下，其关于 $d$ 呈现超指数衰减。
• 当 $n \leq 4^d$ 时，预渐近衰减较慢，衰减速率 $n^{-s}(\ln n)^{(d-1)s}$ 在 $\left(\frac{d-1}{e}\right)^{s(d-1)}$ 处达到峰值，该值随 $d$ 超指数增长，从而延迟了衰减的开始。
• 逼近问题具有拟多项式可 tractability：存在 $t, C_t > 0$，使得 $n(\varepsilon, d) \leq C_t \exp\left(t \ln(\varepsilon^{-1})(1 + \ln d)\right)$，意味着样本数随 $d$ 和 $\varepsilon^{-1}$ 的增长缓慢。
• 该问题并非多项式可 tractable，但具有弱可 tractability，且对所有考虑的 $H^s_{\rm mix}(\mathbb{T}^d)$ 上的等价范数（包括 $H^{s,\#}_{\rm mix}$、$H^{s,+}_{\rm mix}$、$H^{s,*}_{\rm mix}$ 和 $H^m_{\rm mix}$）均成立拟多项式可 tractability。
• 结果通过多指标集合的组合估计与谱分析推导得出，与张量积算子及已知的可 tractability 理论存在联系。