[论文解读] Approximation of operators in Banach spaces

O. I. Reinov|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2010

Advanced Banach Space Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究了在 Banach 空间中使用 $ \pi_p $-紧收敛拓扑对绝对 $ p $-求和算子和拟 $ p $-核算子的逼近问题。结果表明，当 $ p \neq 2 $ 时，存在可分自反 Banach 空间，使得有限秩算子在 $ \pi_p $-范数下于拟 $ p $-核算子空间中不稠密，而它们在绝对 $ p $-求和算子空间中于 $ \tau_p $-拓扑下是稠密的。主要贡献在于构造了一个反例，证明了在非 2-可求和情形下，有限秩算子在 $ \operatorname{QN}_p $ 中不稠密，从而解决了关于非 2-可求和情形下逼近性质的一个长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

It is a translation of an old paper of mine. We describe the topology tau_p in the space Pi_p(Y,X), for which the closures of convex sets in tau_p and in *-weak topology of the space Pi_p(Y,X) are coincident. Thereafter, we investigate some properties of the space Pi_p, related to this new topology. 2010-remark: Occasionally, the topology is coincides with the lambda_p-topology from the paper "Compact operators which factor through subspaces of l_p", Math. Nachr. 281(2008), 412-423 by Deba Prasad Sinha and Anil Kumar Karn.

研究动机与目标

• 研究在 $ \pi_p $-范数拓扑下，有限维算子在拟 $ p $-核算子空间中的稠密性。
• 表征在 $ \pi_p $-紧收敛的 $ \tau_p $-拓扑下，绝对 $ p $-求和算子空间的对偶空间。
• 解决 P. Saphar 提出的问题：在 $ \Pi_p(Y,X) $ 中，凸集的弱拓扑闭包与 $ \tau_p $-拓扑闭包是否一致。
• 显式构造反例，证明逼近性质 $ \operatorname{AP}_p $ 并不蕴含在 $ \operatorname{QN}_p $ 中有限秩算子的稠密性，当 $ p \neq 2 $ 时。

提出的方法

• 在 $ \Pi_p(Y,X) $ 上引入 $ \tau_p $-拓扑，即 $ \pi_p $-紧收敛拓扑，其局部基定义为 $ \omega_{K,\varepsilon} = \{ U \in \Pi_p(Y,X) : \pi_p(U\Phi_K) < \varepsilon \} $。
• 使用紧子集 $ K \subset Y $ 的典范嵌入 $ \Phi_K: X_K \to X $，并研究算子在相关 Banach 空间 $ X_K $ 上的作用。
• 应用算子理想对偶理论，将 $ (\operatorname{R}, \tau_p)' $ 识别为 $ X^* \widehat{\otimes}_{p'} Y $ 的商空间，通过迹泛函实现。
• 构造一个张量元素 $ z \in Z^* \widehat{\otimes}_{p'} Z $，使得对某个 $ \Psi \in \Pi_p(Z,Z^{**}) $ 有 $ \operatorname{trace}(\Psi \circ z) = 1 $，但对所有 $ \Phi \in \Pi_p(Z,Z) $ 有 $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $，利用 Banach 空间的直和构造。
• 利用理想 $ \operatorname{QN}_p $ 的内射性，以及通过严格 $ p' $-积分算子表示对偶，将泛函嵌入张量积中。
• 利用自然映射 $ Y^* \widehat{\otimes}_{p'} X \to \operatorname{N}_{p'}(Y,X) $ 的非内射性，构造自反空间，使得 $ \overline{X^* \otimes Y}^{\tau_p} = X^* \widehat{\widehat{\otimes}}_p Y $，从而在 $ w^* $-拓扑下实现最小闭包。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \pi_p $-范数拓扑下，有限秩算子在 $ \operatorname{QN}_p(Y,X) $ 中的闭包是否等于整个空间，对所有 $ p \in [1,\infty] $ 成立？
• RQ2 $ \Pi_p(Y,X) $ 上的 $ \tau_p $-拓扑是否与弱*拓扑对凸集的闭包产生相同结果？
• RQ3 能否构造一个 Banach 空间 $ Z $ 和一个张量 $ z \in Z^* \widehat{\otimes}_{p'} Z $，使得对某个 $ \Psi \in \Pi_p(Z,Z^{**}) $ 有 $ \operatorname{trace}(\Psi \circ z) = 1 $，但对所有 $ \Phi \in \Pi_p(Z,Z) $ 有 $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $？
• RQ4 对于哪些 $ p \in [1,\infty] $，在自反空间 $ X,Y $ 中，等式 $ \overline{X^* \otimes Y}^{\tau_p} = X^* \widehat{\widehat{\otimes}}_p Y $ 成立？

主要发现

• 对每个 $ p \in [1,\infty] $，$ p \neq 2 $，存在一个可分自反 Banach 空间 $ E $ 和一个具有基的可分共轭空间 $ H $，使得 $ \operatorname{QN}_p(H,E) \neq \overline{H^* \otimes E}^{\pi_p} $，表明有限秩算子在 $ \operatorname{QN}_p $ 中不稠密。
• 对每个 $ p \in [1,\infty) $，存在可分自反 Banach 空间 $ X $ 和 $ Y $，使得 $ \overline{X^* \otimes Y}^{\tau_p} = X^* \widehat{\widehat{\otimes}}_p Y $，表明在 $ \tau_p $-拓扑下，有限秩算子的闭包在 $ w^* $-拓扑下是最小的。
• 存在一个张量元素 $ z \in Z^* \widehat{\otimes}_{p'} Z $ 和一个算子 $ \Psi \in \Pi_p(Z,Z^{**}) $，使得 $ \operatorname{trace}(\Psi \circ z) = 1 $，但对所有 $ \Phi \in \Pi_p(Z,Z) $ 有 $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $，证明迹泛函无法检测出 $ \Pi_p(Z,Z) $ 对偶空间中的非零元素。
• $ (\operatorname{R}, \tau_p) $ 的对偶空间，其中 $ \operatorname{R} \supset Y^* \otimes X $，同构于 $ X^* \widehat{\otimes}_{p'} Y $ 的商空间，泛函可表示为迹形式 $ \varphi(U) = \operatorname{trace}(U \circ z) $。
• $ \Pi_p(Y,X) $ 等于 $ Y^* \otimes X $ 在 $ \tau_p $-拓扑下的闭包，确认 $ \tau_p $-拓扑对 $ \Pi_p(Y,X) $ 中凸集的闭包是正确的，从而回答了 P. Saphar 提出的问题。
• 当 $ p = \infty $ 时，存在一个非零张量 $ z \in Z^* \widehat{\otimes}_1 Z $，使得对所有 $ \Phi \in \operatorname{L}(Z,Z) $ 有 $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $，解决了 Sten Kaijser 提出的问题。