[论文解读] Approximation of Optimal Transport problems with marginal moments constraints

Aurélien Alfonsi, Rafaël Coyaud+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 40被引用 15

一句话总结

本文提出一种新颖的数值方法，通过使用测试函数将最优传输（OT）问题中的严格边缘约束替换为矩约束，从而近似求解。借助Tchakaloff定理，证明了矩约束最优传输（MCOT）问题存在有限离散解，在基本情形下收敛速率可达$O(1/n)$或$O(1/n^2)$，为传统离散化方法提供了一种可扩展的替代方案，并避免了多边缘及鞅约束OT问题中的维度灾难。

ABSTRACT

Optimal Transport (OT) problems arise in a wide range of applications, from physics to economics. Getting numerical approximate solution of these problems is a challenging issue of practical importance. In this work, we investigate the relaxation of the OT problem when the marginal constraints are replaced by some moment constraints. Using Tchakaloff's theorem, we show that the Moment Constrained Optimal Transport problem (MCOT) is achieved by a finite discrete measure. Interestingly, for multimarginal OT problems, the number of points weighted by this measure scales linearly with the number of marginal laws, which is encouraging to bypass the curse of dimension. This approximation method is also relevant for Martingale OT problems. We show the convergence of the MCOT problem toward the corresponding OT problem. In some fundamental cases, we obtain rates of convergence in $O(1/n)$ or $O(1/n^2)$ where $n$ is the number of moments, which illustrates the role of the moment functions. Last, we present algorithms exploiting the fact that the MCOT is reached by a finite discrete measure and provide numerical examples of approximations.

研究动机与目标

• 为解决高维最优传输问题的计算不可行性，特别是多边缘及鞅约束情形下的问题。
• 开发一种避免对状态空间进行先验离散化的数值近似方法。
• 通过使用精心选择的测试函数，将严格的边缘约束替换为矩约束，从而实现有限维优化。
• 建立矩约束最优传输（MCOT）问题向原始OT问题的理论收敛性。
• 设计利用MCOT解的有限离散结构的算法，以实现实际数值计算。

提出的方法

• 将原始OT问题中的边缘约束替换为使用有界测试函数$\phi_i$和$\phi_j$的矩约束。
• 应用Tchakaloff定理，证明MCOT问题可通过最多$N+1$个原子的有限离散测度实现，其中$N$为矩约束的数量。
• 通过在离散点$m/N$处匹配累积分布函数，构造概率测度$\mu$的离散近似$\hat{\mu}^N$，以确保矩和分布的一致性。
• 利用MCOT解为离散测度的事实，将其转化为有限维优化问题，从而避免多边缘OT中的维度灾难。
• 通过比较原始测度与近似测度的累积分布函数，借助有界密度假设，推导收敛速率。
• 基于MCOT解的离散结构设计数值算法，通过线性规划或迭代求解器实现高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将边缘约束松弛为矩约束来近似最优传输问题，从而获得有限维解？
• RQ2 随着矩数量的增加，矩约束最优传输（MCOT）问题向原始OT问题的收敛速率如何？
• RQ3 MCOT公式是否在金融OT问题中保持鞅约束等结构性质？
• RQ4 在多边缘OT问题中，最优MCOT解中原子的数量如何随边缘分布数量变化？
• RQ5 MCOT框架能否实现高效的数值实现？与标准离散化方法相比，其计算优势是什么？

主要发现

• 由于Tchakaloff定理，MCOT问题可通过最多$N+1$个原子的有限离散测度实现，其中$N$为矩约束的数量。
• 在多边缘OT问题中，MCOT解中原子的数量与边缘分布数量呈线性关系，有效缓解了维度灾难。
• 随着矩数量$n$的增加，MCOT解收敛于原始OT解，在基本情形下收敛速率为$O(1/n)$或$O(1/n^2)$。
• 当底层测度具有有界密度时，累积分布函数的近似误差被限制在$\frac{\|\rho_\mu\|_\infty}{6N^3}$以内，对光滑密度可实现高精度。
• MCOT框架支持利用其有限离散结构设计数值算法，为标准离散化和熵正则化提供了一种可扩展的替代方案。
• 在$[0,1]$上均匀分布的情形下，构造的近似$\hat{\mu}^N$在$m/N$处与累积分布函数一致，且满足$\int_{T^N_m} F_{\hat{\mu}^N} = \int_{T^N_m} F_\mu$，确保了矩和分布的一致性。