[论文解读] Approximation of parametrized kernels arising in nonlocal and fractional Laplace models

Olena Burkovska, Max Gunzburger|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2019

Numerical methods in engineering被引用 2

一句话总结

本文针对参数化非局部与分数阶拉普拉斯问题（核函数依赖于参数δ（非局部作用域）和s（分数阶阶数））提出了一种降维基方法。通过推导解的正则性与可微性结果，采用局部多项式构造仿射逼近，并提供经过认证的后验误差估计器，实现了在参数变化下高效且可靠的解逼近。

ABSTRACT

We consider parametrized problems driven by spatially nonlocal integral operators with parameter-dependent kernels. In particular, kernels with varying nonlocal interaction radius $\delta > 0$ and fractional Laplace kernels, parametrized by the fractional power $s\in(0,1)$, are studied. In order to provide an efficient and reliable approximation of the solution for different values of the parameters, we develop the reduced basis method as a parametric model order reduction approach. Major difficulties arise since the kernels are not affine in the parameters, singular, and discontinuous. Moreover, the spatial regularity of the solutions depends on the varying fractional power $s$. To address this, we derive regularity and differentiability results with respect to $\delta$ and $s$, which are of independent interest for other applications such as optimization and parameter identification. We then use these results to construct affine approximations of the kernels by local polynomials. Finally, we certify the method by providing reliable a posteriori error estimators, which account for all approximation errors, and support the theoretical findings by numerical experiments.

研究动机与目标

• 为解决具有参数依赖核函数的参数化非局部与分数阶拉普拉斯问题的高效求解挑战。
• 克服在降维基框架中由非仿射、奇异及不连续核函数带来的困难。
• 建立解关于δ与s的正则性与可微性性质，以实现理论与计算上的优势。
• 通过局部多项式展开构造非仿射核的仿射逼近。
• 提供可靠的后验误差估计器，涵盖降维基框架中所有近似误差。

提出的方法

• 推导解关于参数δ与s的正则性与可微性结果，为后续逼近提供基础。
• 通过局部多项式逼近，将非仿射核表示为仿射参数形式。
• 应用降维基方法，生成用于跨参数值高效求解的降阶模型。
• 使用贪婪算法选择能最好表征参数解流形的离线快照。
• 开发一种经过认证的后验误差估计器，同时考虑降维基误差与核逼近误差。
• 通过数值实验验证方法，支持理论结果中关于收敛性与可靠性的发现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效逼近非局部与分数阶拉普拉斯问题中非仿射、奇异及不连续的核函数，以实现模型降阶？
• RQ2 解关于参数δ与s表现出怎样的正则性与可微性特征？这些特征在计算中如何被有效利用？
• RQ3 通过局部多项式实现的核函数仿射逼近，能否支持可靠且高效的降维基解法？
• RQ4 如何构建后验误差估计器，以涵盖此类问题在降维基框架中所有误差源？
• RQ5 所提方法在δ与s变化范围内的实际性能如何？具体体现在精度与效率方面？

主要发现

• 解关于δ与s具有足够的正则性与可微性，支持有效逼近与模型降阶。
• 尽管核函数具有非仿射结构，局部多项式逼近仍能实现有效的仿射参数表示。
• 降维基方法可实现对新参数值的快速高精度求解。
• 后验误差估计器能可靠地控制总误差，包括降维基误差与核逼近误差。
• 数值实验验证了理论收敛速率，并展示了方法在参数范围内的高效性与鲁棒性。