[论文解读] Approximation of probability density functions for SPDEs using truncated series expansions

Giacomo Capodaglio, Max Gunzburger+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用 3

一句话总结

本文提出使用截断的Gram-Charlier和Edgeworth级数展开来近似随机偏微分方程（SPDEs）解的泛函的概率密度函数（PDF）。通过利用蒙特卡洛方法和随机伽辽金方法计算得到的矩，该方法以多项式展开的形式高效地建模非高斯PDF，为基于采样的密度估计提供了一种计算高效的替代方案。

ABSTRACT

The probability density function (PDF) of a random variable associated with the solution of a stochastic partial differential equation (SPDE) is approximated using a truncated series expansion. The SPDE is solved using two stochastic finite element (SFEM) methods, Monte Carlo sampling and the stochastic Galerkin method with global polynomials. The random variable is a functional of the solution of the SPDE, such as the average over the physical domain. The truncated series are obtained considering a finite number of terms in the Gram-Charlier or Edgeworth series expansions. These expansions approximate the PDF of a random variable in terms of another PDF, and involve coefficients that are functions of the known cumulants of the random variable. To the best of our knowledge, their use in the framework of SPDEs has not yet been explored.

研究动机与目标

• 为解决准确近似随机偏微分方程（SPDEs）解的泛函的概率密度函数（PDF）的挑战，这些泛函通常表现出非高斯特性。
• 探索经典级数展开方法——Gram-Charlier和Edgeworth——在SPDEs中的应用，尽管这些方法在理论上具有潜力，但在该领域仍研究不足。
• 比较截断级数展开与传统基于采样的方法在捕捉SPDE解PDF形状和尾部行为方面的性能与准确性。
• 评估基于矩的近似方法在两种随机有限元方法（蒙特卡洛采样和具有全局多项式混沌展开的随机伽辽金法）结果上的有效性。
• 为SPDEs中的PDF估计提供一种计算高效的蒙特卡洛采样替代方案，特别是在采样成本过高而不可行的情况下。

提出的方法

• 该方法采用截断的Gram-Charlier和Edgeworth级数展开来近似一个随机变量的PDF，该随机变量是SPDE解的泛函（例如，定义域上的空间平均值）。
• 通过两种随机有限元方法——蒙特卡洛采样和具有全局多项式混沌展开的随机伽辽金法——从SPDE解中计算该随机变量的矩。
• 级数展开将目标PDF表示为已知参考PDF（通常为正态分布）的修正形式，修正项基于该随机变量的矩。
• 级数中的项数被截断为有限数量，以在准确性和计算成本之间取得平衡，高阶项用于捕捉偏度和峰度效应。
• 通过与基于蒙特卡洛采样的参考PDF比较，评估所得近似PDF的准确性。
• 在真实解PDF已知或可良好近似的测试案例中验证该方法，从而实现对近似误差的定量评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 截断的Gram-Charlier和Edgeworth级数能否有效近似具有非高斯特性的SPDE解泛函的PDF？
• RQ2 这些级数近似在捕捉PDF形状和尾部行为方面，其准确性和收敛性与蒙特卡洛采样相比如何？
• RQ3 使用不同随机有限元方法（蒙特卡洛与随机伽辽金）所得的矩对PDF近似质量有何影响？
• RQ4 在何种情况下，级数展开中的高阶项能显著改善近似效果，而在何种情况下低阶展开已足够？
• RQ5 这些级数展开在多大程度上可作为SPDEs中完整采样方法的计算高效替代方案用于PDF估计？

主要发现

• 截断的Gram-Charlier和Edgeworth级数为SPDE泛函的非高斯PDF提供了一种可行且计算高效的近似方法，无需大量采样。
• 随着所用矩数量的增加，近似质量得到提升，尤其在捕捉偏度和峰度方面，这对非高斯分布至关重要。
• 在相同计算成本下，随机伽辽金法比蒙特卡洛采样提供更精确的矩估计，从而获得更优的PDF近似。
• 该方法能有效捕捉高密度区域的PDF形状，并在尾部表现出合理性能，但对高度偏斜或重尾分布的准确性会下降。
• 与蒙特卡洛采样相比，该方法在高分辨率PDF估计场景中表现出显著的计算节省。
• 在随机伽辽金框架中使用全局多项式混沌可实现平滑且稳定的矩计算，这对可靠地确定级数展开系数至关重要。