[论文解读] Approximation of quasi-stationary distributions for 1-dimensional killed diffusions with unbounded drifts

Denis Villemonais|ArXiv.org|May 22, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于模拟的方法，用于近似在原点被吸收的一维伊tô扩散过程中具有无界漂移的拟平稳分布（QSD）。通过先将过程限制在具有有界漂移的有界区间上，再应用Fleming-Viot型相互作用粒子系统，该方法实现了对Yaglom极限的数值近似，且在逻辑斯蒂Feller和Wright-Fisher扩散模型上的模拟结果已验证其有效性。

ABSTRACT

The long time behavior of an absorbed Markov process is well described by the limiting distribution of the process conditioned to not be killed when it is observed. Our aim is to give an approximation's method of this limit, when the process is a 1-dimensional Itô diffusion whose drift is allowed to explode at the boundary. In a first step, we show how to restrict the study to the case of a diffusion with values in a bounded interval and whose drift is bounded. In a second step, we show an approximation method of the limiting conditional distribution of such diffusions, based on a Fleming-Viot type interacting particle system. We end the paper with two numerical applications : to the logistic Feller diffusion and to the Wright-Fisher diffusion with values in $]0,1[$ conditioned to be killed at 0.

研究动机与目标

• 开发一种在边界被吸收的一维扩散过程中具有无界漂移的拟平稳分布（QSD）的数值可行近似方法。
• 解决当漂移无界时标准相互作用粒子系统可能无法定义的问题。
• 建立有界近似QSD收敛到原始无界漂移扩散真实QSD的条件。
• 提供一种实用且可模拟的方法，用于在谱理论方法无法给出显式值的情况下计算QSD。

提出的方法

• 该方法首先通过在(ε, 1/ε)上有界区间上构造具有有界漂移的扩散过程，对原始在(0, ∞)上具有无界漂移的扩散过程进行近似，以确保其良好定义。
• 对每个ε > 0，使用含N个粒子的Fleming-Viot型相互作用粒子系统来近似有界扩散的QSD νε。
• 每个粒子在(ε, 1/ε)上作为扩散过程演化，直到被吸收；吸收后，它会跳至一个从存活粒子中均匀随机选择的位置。
• 当N → ∞时，粒子系统的经验测度依分布收敛到νε，且当ε → 0时，νε收敛到真实QSD ν。
• 在漂移满足条件(H1)和(H3)的假设下，建立了理论收敛性，确保νε的紧致性和弱收敛性。
• 通过长时间时间窗口内经验测度的时间平均来计算数值近似，利用大数定律。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对在原点被吸收的一维具有无界漂移的扩散过程中的拟平稳分布进行近似？
• RQ2 在什么条件下，有界区间上QSD序列νε会收敛到无界漂移扩散的真实QSD？
• RQ3 当漂移无界时，Fleming-Viot型相互作用粒子系统是否良好定义且有效用于近似QSD？
• RQ4 在谱方法无法给出显式表达式的情况下，如何数值估计Yaglom极限？
• RQ5 漂移参数对拟平稳分布的形状和支撑集有何影响？

主要发现

• 通过所提出的粒子系统，成功近似了具有无界漂移的逻辑斯蒂Feller扩散的QSD，结果表明：当二次漂移系数c增大时，QSD的支撑集更趋近于0。
• 对于Wright-Fisher扩散，粒子系统近似与已知解析QSD密度2−2x高度吻合，验证了方法的准确性。
• 当N → ∞时，N粒子系统的经验测度收敛到νε，且当ε → 0时νε → ν，确立了该方法的理论有效性。
• 只要满足条件(H1)和(H3)，即使漂移在边界处发散，该方法依然有效。
• 当ε = 0.001且N = 1000时的数值模拟结果表明，对极限QSD的近似稳定且精确，证明了其实际可行性。
• 通过时间平均模拟验证了经验测度向真实QSD的收敛性，证实了粒子系统的遍历行为。