[论文解读] Approximation of random diffusion equation by nonlocal diffusion equation in free boundary problems of one space dimension

Yihong Du, Wenjie Ni|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 32被引用 6

一句话总结

本论文建立了在一维空间中，具有自由边界的非局部扩散方程的解收敛于具有自由边界的经典局部扩散方程的解。通过精心构造的上下解，并采用核缩放 $J_\epsilon(x) = \frac{1}{\epsilon}J(\frac{x}{\epsilon})$，证明了在核 $J$ 满足适当的正则性和紧台集假设下，近似误差以 $O(\epsilon^{\gamma})$ 的速率衰减，其中 $\gamma > 0$。该结果将已知的固定域近似结果推广至更复杂的自由边界设定。

ABSTRACT

We show how the Stefan type free boundary problem with random diffusion in one space dimension can be approximated by the corresponding free boundary problem with nonlocal diffusion. The approximation problem is a slightly modified version of the nonlocal diffusion problem with free boundaries considered in [4,8]. The proof relies on the introduction of several auxiliary free boundary problems and constructions of delicate upper and lower solutions for these problems. As usual, the approximation is achieved by choosing the kernel function in the nonlocal diffusion term of the form $J_ε(x)=\frac 1εJ(\frac xε)$ for small $ε>0$, where $J(x)$ has compact support. We also give an estimate of the error term of the approximation by some positive power of $ε$.

研究动机与目标

• 建立在一维空间中，通过相应的非局部扩散模型对具有局部（随机）扩散的 Stefan 型自由边界问题进行近似。
• 将已知的固定域问题收敛结果推广至更复杂的自由边界设定，其中区域随时间演化。
• 在适当的正则性和核条件假设下，量化非局部与局部模型解之间的收敛速率。
• 构造辅助自由边界问题，并利用精细的上下解控制动力学与边界演化。

提出的方法

• 引入具有核 $J_\epsilon(x) = \frac{1}{\epsilon}J(\frac{x}{\epsilon})$ 的非局部扩散算子，其中 $J$ 具紧台集，且满足 $\int_{\mathbb{R}} J(x)dx = 1$，$J(0) > 0$，$J$ 为偶函数。
• 构造具有修改后边界动力学的辅助自由边界问题，作为比较函数。
• 使用包含扰动项 $\epsilon M(\frac{x - \underline{g}_\epsilon(t)}{\epsilon})$ 的上下解，以控制边界运动并确保比较原理的适用性。
• 应用比较原理，证明当 $\epsilon > 0$ 足够小时，有 $u_\epsilon \geq v_\epsilon$ 且 $g_\epsilon \leq \underline{g}_\epsilon$，$h_\epsilon \geq \underline{h}_\epsilon$，从而推出当 $\epsilon \to 0$ 时的收敛性。
• 通过分析非局部与局部算子之间的差异，利用核的二阶矩 $C_* = \left[\int_0^1 J(z)z^2 dz\right]^{-1}$ 推导误差估计。
• 采用极限论证，利用辅助解的一致收敛性，得出当 $\epsilon \to 0$ 时，非局部解收敛于局部解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维空间中，具有局部扩散的自由边界问题的解能否被相应的非局部扩散模型近似？
• RQ2 当核缩放参数 $\epsilon \to 0$ 时，非局部与局部解之间的收敛速率是多少？
• RQ3 如何控制非局部问题的边界动力学，以确保其收敛于局部问题的边界演化？
• RQ4 在核 $J$ 和初始数据满足何种条件下，非局部解能在有限时间区间上一致收敛于局部解？
• RQ5 能否通过精心构造的上下解，将比较原理推广至非局部自由边界问题？

主要发现

• 当 $\epsilon \to 0$ 时，非局部自由边界问题的解 $u_\epsilon$ 在任意有限时间区间 $[0,T]$ 上一致收敛于局部自由边界问题的解 $v$。
• 收敛速率估计为 $O(\epsilon^\gamma)$，其中 $\gamma > 0$，其具体值取决于核与初始数据的正则性。
• 该收敛性在标准假设下成立：$J$ 具紧台集，$J \in C^0$，$J(0) > 0$，$J$ 为偶函数，且 $\int_{\mathbb{R}} J(x)dx = 1$，同时 $f$ 局部利普希茨连续，$v_0 \in C^2$。
• 证明依赖于构造具有修改后边界速度的辅助问题，并使用包含缩放扰动项的上下解以控制边界运动。
• 若辅助参数 $\underline{\mu} > \mu$，则非局部解无法一致收敛于局部解，尽管此类对 $(J,M)$ 尚未被验证。
• 该结果将已知的固定域收敛结果推广至自由边界情形，为该动态设定下非局部与局部模型之间建立了严格的联系。