[论文解读] Approximation of Riemannian measures by Stein's method

James Thompson|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文通过扩散半群表示和Bismut型分部积分公式，将Stein方法推广至黎曼流形上，用于近似流形上的概率测度。在曲率条件下，通过解Stein方程的导数估计，建立了Wasserstein距离的界，将多变量正态近似推广至具有Ricci曲率和黎曼曲率张量界显式依赖关系的黎曼设置。

ABSTRACT

In this article, we present the theoretical basis for an approach to Stein's method for probability distributions on Riemannian manifolds. Using a semigroup representation for the solution to the Stein equation, we use tools from stochastic calculus to estimate the derivatives of the solution, yielding a bound on the Wasserstein distance. We first assume the Bakry-Emery-Ricci tensor is bounded below by a positive constant, after which we deal separately with the case of uniform approximation on a compact manifold. Applications of these results are currently under development and will appear in a subsequent article.

研究动机与目标

• 将Stein方法推广至黎曼流形，以实现分布近似。
• 解决在曲面空间中解Stein方程的导数估计工具缺乏的问题。
• 在黎曼流形上建立给定分布与目标测度之间Wasserstein距离的定量界。
• 将Fang、Shao和Xu的多变量正态近似推广至具有曲率约束的一般黎曼设置。
• 为几何概率和流形上随机分析的未来应用提供理论基础。

提出的方法

• 利用完备黎曼流形上Stein方程解的半群表示。
• 应用由局部鞅技术导出的Bismut型分部积分公式，以估计半群的梯度、Hessian矩阵及三阶导数。
• 运用随机分析和Itô等距公式，通过曲率假设来界定解的导数。
• 在Ricci曲率的下界条件下，利用Gronwall不等式推导半群的显式导数估计。
• 通过Cameron-Martin过程引入一组全新的半群一阶、二阶和三阶导数公式。
• 通过结合曲率条件与位移项和余项的矩估计，建立Wasserstein距离的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Stein方法推广至黎曼流形，以近似概率测度？
• RQ2 何种曲率条件足以控制流形上Stein方程解的导数？
• RQ3 Bismut型公式能否扩展至半群的高阶导数（Hessian矩阵与三阶导数）？
• RQ4 在曲率约束下，流形上分布的Wasserstein距离收敛速率为何？
• RQ5 近似中的余项如何依赖于流形的几何结构及随机变量的耦合方式？

主要发现

• 在Bakry-Emery-Ricci张量满足下界 $ K > 0 $ 的条件下，即 $ \mathop{\rm Ric}_\psi \geq K $，随机变量 $ W $ 与目标测度 $ \mu_\psi $ 之间的Wasserstein距离满足 $ \mathcal{W}(\mathcal{L}(W), \mu_\psi) \leq C \left( \frac{1}{\lambda} \mathbb{E}[|\delta|^3 (|\log|\delta|| \vee 1)] + \mathbb{E}[|R_1|] + \mathbb{E}[|R_2|] \right) $，对所有 $ \lambda > 0 $ 成立，其中 $ \delta = d(W, W') $。
• 该界中包含一个对数项 $ \log|\delta| $，其源于流形的几何结构，是实现非平坦情形下Wasserstein控制所必需的。
• 当移除对数项后，界被替换为 $ C^2 $-距离，这是一种较弱的度量，但避免了对 $ \log|\delta| $ 的依赖。
• 在曲率和有界性假设下，建立了半群的导数估计：$ \|\nabla P_t f\|_\infty \leq e^{-Kt} \|\nabla f\|_\infty $，$ \|\nabla dP_t f\|_\infty \leq \frac{C_1 e^{-Kt}}{\sqrt{1 \wedge t}} \|\nabla f\|_\infty $，以及 $ \|\nabla\nabla dP_t f\|_\infty \leq \frac{C_2 e^{-Kt}}{1 \wedge t} \|\nabla f\|_\infty $。
• 在欧氏情形 $ M = \mathbb{R}^n $ 下，该结果恢复了Fang、Shao和Xu的界，确认了与现有多变量正态近似理论的一致性。
• 该方法依赖于通过局部鞅技术和Cameron-Martin过程推导出的一整套半群一阶、二阶和三阶导数的Bismut型公式。