[论文解读] Approximation of smooth functions using Bernstein polynomials in multiple variables

Adrian Fellhauer|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文证明，任何 ℝᵈ 上的光滑多元函数均可通过单一有理系数多项式序列，以所有导数的局部一致方式，利用多元 Bernstein 多项式实现逼近。证明基于初等分析与反证法，避免使用高级集合论公理，将经典的一元收敛结果推广至多变量情形下的完整导数收敛。

ABSTRACT

In this survey, we use (more or less) elementary means to establish the well-known result that for any given smooth multivariate function, the respective multivariate Bernstein polynomials converge to that function in all derivatives on each compact set. We then go on to strengthen that result to obtain that any smooth function on $\mathbb R^d$ may be approximated locally uniformly in all derivatives by \emph{one} sequence of polynomials. We will use neither the axiom of choice nor the power set axiom. We will use the method of proof by contradiction.

研究动机与目标

• 建立 ℝᵈ 上光滑函数可在紧集上以所有导数一致逼近于多项式。
• 将 Bernstein 对 Weierstrass 逼近定理的概率化证明推广至多元函数，并实现导数收敛。
• 构造单一有理系数多项式序列，使其在局部一致收敛于光滑函数及其所有导数。
• 在证明中避免依赖强集合论公理（如选择公理、幂集公理）。
• 提供一种构造性、初等的证明方法，仅使用反证法与插值技巧，且在多变量情形下不引入概率形式化。

提出的方法

• 使用多重指标记号，将一元 Bernstein 多项式推广至 [0,1]ᵈ 上的多元函数。
• 通过多重指标阶数的归纳法，证明多元 Bernstein 多项式在函数及其导数上的逐点收敛性。
• 使用反证法建立导数收敛性：假设收敛失败，利用紧致性与连续性导出矛盾。
• 应用三角不等式，控制函数与其 Bernstein 逼近之间导数差异的上界。
• 利用位似变换将收敛性从 [0,1]ᵈ 扩展至任意紧集 [-n,n]ᵈ。
• 通过一致接近性与范数界，将实系数 Bernstein 多项式逼近为有理系数多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否对 ℝᵈ 上的光滑函数，可在每个紧子集上以单一多项式序列实现所有导数的逼近？
• RQ2 多元 Bernstein 多项式是否在紧集上一致收敛于函数及其所有导数？
• RQ3 能否仅使用有理系数多项式实现逼近，同时保持导数收敛性？
• RQ4 是否可能在不使用概率工具或强集合论公理的前提下，证明多元导数收敛性？
• RQ5 如何仅通过初等分析与反证法建立导数收敛性？

主要发现

• 对任意光滑函数 f ∈ C∞(ℝᵈ)，多元 Bernstein 多项式在 ℝᵈ 的每个紧子集上均一致收敛于 f 及其所有导数。
• 所有导数的收敛是局部一致的，即 ∂βf 与 ∂βpₙ 之间差值的上确界范数在紧集上趋于零。
• 存在单一有理系数多项式序列 (qₙ)，使得对所有 β ≤ γ，有 ∂βqₙ → ∂βf 局部一致收敛，其中 f ∈ Cγ(ℝᵈ)。
• 该证明避免使用选择公理与幂集公理，仅依赖初等分析与反证法。
• 通过应用位似变换 h(x) = 2nx − n，将 [0,1]ᵈ 上的收敛性扩展至每个 n 对应的 [-n,n]ᵈ。
• 构造了对 Bernstein 多项式的有理逼近，使得其导数差异被控制在 ϵ|α|α! 以内，从而实现一致控制。