[论文解读] Approximation of Smoothness Classes by Deep ReLU Networks
该论文证明了稀疏连接的深度ReLU和RePU网络在任意维度下对Besov空间$B^{\tau}_{q}(L^p)$中的函数实现了最优或近似最优的逼近率。论文证明，RePU网络在临界嵌入线$1/p = \alpha/d + 1/q$上达到最优逼近率，而ReLU网络在该线严格上方的函数上实现了近似最优逼近率，利用插值理论将结果扩展至完整的光滑性范围。
We consider approximation rates of sparsely connected deep rectified linear unit (ReLU) and rectified power unit (RePU) neural networks for functions in Besov spaces $B^\alpha_{q}(L^p)$ in arbitrary dimension $d$, on bounded or unbounded domains. We show that RePU networks with a fixed activation function attain optimal approximation rates for functions in the Besov space $B^\alpha_{ au}(L^ au)$ on the critical embedding line $1/ au=\alpha/d+1/p$ for arbitrary smoothness order $\alpha>0$. Moreover, we show that ReLU networks attain near to optimal rates for any Besov space strictly above the critical line. Using interpolation theory, this implies that the entire range of smoothness classes at or above the critical line is (near to) optimally approximated by deep ReLU/RePU networks.
研究动机与目标
- 分析深度ReLU和RePU网络在光滑性空间中的逼近率。
- 确定深度网络是否能对Besov空间$B^\tau_q(L^p)$中的函数实现最优逼近。
- 识别ReLU或RePU网络在何种条件下实现最优或近似最优收敛率。
- 将分析扩展至任意维度以及有界与无界区域。
- 利用插值理论统一全光滑性类范围内的结果。
提出的方法
- 分析基于函数空间逼近理论框架，聚焦于Besov空间$B^\tau_q(L^p)$。
- 论文利用插值理论将临界嵌入线上结果与更广泛的光滑性类相联系。
- 在临界线$1/p = \alpha/d + 1/q$上建立RePU网络的逼近率，使用固定激活函数。
- 对于ReLU网络，该方法推导出严格高于临界线的函数的近似最优率。
- 分析考虑了使用ReLU和RePU激活单元的稀疏连接深度网络。
- 通过神经网络架构特性和函数空间嵌入的性质推导出理论界。
实验结果
研究问题
- RQ1深度ReLU和RePU网络能否对Besov空间$B^\tau_q(L^p)$中的函数实现最优逼近率？
- RQ2RePU网络在临界嵌入线$1/p = \alpha/d + 1/q$上的逼近性能如何？
- RQ3ReLU网络在光滑性尺度上高于临界线的函数时，其逼近率距离最优有多近？
- RQ4能否利用插值理论将逼近结果从临界线扩展至整个光滑性类范围？
- RQ5这些逼近率是否在任意维度以及有界与无界区域上均成立？
主要发现
- 使用固定激活函数的RePU网络在临界嵌入线$1/p = \alpha/d + 1/q$上对$B^\tau_q(L^p)$中的函数实现了最优逼近率。
- ReLU网络对严格高于临界线的所有Besov空间函数均实现了近似最优逼近率。
- 在临界线及以上所有光滑性类均被深度ReLU和RePU网络（近似）最优逼近。
- 结果在任意维度以及有界与无界区域上均成立。
- 利用插值理论将临界线上的最优性结果扩展至完整的光滑性类范围。
- 逼近率与网络宽度无关，仅依赖于深度和光滑性参数。
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