[论文解读] Approximation of solutions of DDEs under nonstandard assumptions via Euler scheme

Natalia Czyżewska, Paweł Morkisz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2021

Numerical methods for differential equations参考文献 22被引用 2

一句话总结

本文针对在非标准正则性条件下（全局至多线性增长、全局单边Lipschitz连续性、右端函数的局部Hölder连续性）的随机微分方程（DDEs）的Euler格式进行了严格的误差分析。关键贡献在于提出了一个显式依赖于函数Hölder指数的点态误差理论上限，并通过多维DDEs中非Lipschitz非线性项的数值实验进行了验证。

ABSTRACT

We deal with approximation of solutions of delay differential equations (DDEs) via the classical Euler algorithm. We investigate the pointwise error of the Euler scheme under nonstandard assumptions imposed on the right-hand side function $f$. Namely, we assume that $f$ is globally of at most linear growth, satisfies globally one-side Lipschitz condition but it is only locally H\"older continuous. We provide a detailed error analysis of the Euler algorithm under such nonstandard regularity conditions. Moreover, we report results of numerical experiments.

研究动机与目标

• 分析当右端函数f不满足全局Lipschitz连续性但满足较弱正则性条件时，经典Euler格式在DDEs中的收敛性。
• 在非标准假设（全局线性增长、单边Lipschitz条件、局部Hölder连续性）下，建立Euler方法的严格点态误差界。
• 将现有误差分析框架（通常假设全局Lipschitz连续性）扩展至物理与工程模型中更常见且正则性更低的设定。
• 通过具有非Lipschitz非线性项的代表性DDEs的数值实验，验证理论结果。
• 为在类似弱正则性假设下将分析扩展至高阶数值格式提供基础。

提出的方法

• 在每个时间区间[jτ, (j+1)τ]上以统一步长h = τ/N迭代应用Euler格式，以前一区间的结果作为下一区间初始数据。
• 理论分析基于通过Gronwall型方法推导的递归误差不等式，通过Hölder连续性和单边Lipschitz条件来处理f的非光滑性。
• 关键步骤包括在相同弱正则性假设下证明关于ODE解行为的辅助引理，特别是将局部误差以h^α和h^β_i（对应Hölder指数β_i）的形式进行有界控制。
• 通过结合局部截断误差估计与误差的全局传播，利用单边Lipschitz条件控制误差增长，从而推导出误差界。
• 分析显式追踪了误差对函数f的Hölder指数β1, ..., βp的依赖关系，这是本工作的创新之处。
• 在三个具有非Lipschitz右端项的测试DDEs上进行了数值实验，以确认理论收敛速率及Hölder指数对误差的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 当右端函数f仅为局部Hölder连续且满足单边Lipschitz条件而非全局Lipschitz连续时，Euler格式在DDEs中的收敛速率如何？
• RQ2 在这些非标准假设下，Euler格式的点态误差如何依赖于函数f的Hölder指数？
• RQ3 在缺乏全局Lipschitz连续性的情况下，能否为Euler方法建立严格的误差界，而仅依赖于线性增长和单边Lipschitz条件？
• RQ4 数值实验在多大程度上验证了理论误差估计，特别是对Hölder指数的依赖关系？
• RQ5 所提出的分析框架在何种程度上可扩展至具有类似正则性条件的高阶数值格式？

主要发现

• 本文建立了Euler格式点态误差的理论上限，该上限显式依赖于右端函数f的Hölder指数β1, ..., βp。
• 误差界形式为O(h^α + ∑h^β_i)，其中α为时间方向的Hölder指数，β_i为各空间方向的Hölder指数，表明当Hölder正则性降低时，收敛速率随之下降。
• 当单边Lipschitz常数H+为零时，误差界为∆ + C(1 + ∥ξ∥)(1 + ∆)(b−a)(h^α + ∑h^β_i)，在有利条件下表明h的线性收敛性。
• 当H+ > 0时，误差界包含指数因子e^{H+(b−a)}及依赖于H+和问题参数的乘性常数，反映出单边Lipschitz常数的影响。
• 数值实验验证了理论收敛速率，并表明随着Hölder指数减小，误差增大，从而验证了理论对正则性的依赖关系。
• 结果在多个测试案例中均表现稳健，包括具有非Lipschitz非线性项的多维DDEs，表明该方法在材料科学与相变等实际模型中的适用性。