[论文解读] Approximation of stochastic processes by non-expansive flows and coming down from infinity

Vincent Bansaye|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 41被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种基于非扩张流的高维随机过程轨迹近似方法，实现了对非Lipschitz漂移的统一估计。通过结合局部鞅技巧与Poincaré紧化方法，建立了过程‘从无穷大下降’的条件——这是共祖过程与种群模型中的关键特征。该方法应用于$\backslashLambda$-共祖过程与竞争Lotka-Volterra扩散过程。

ABSTRACT

We approximate stochastic processes in finite dimension by dynamical systems. We provide trajectorial estimates which are uniform with respect to the initial condition for a well chosen distance. This relies on some non-expansivity property of the flow, which allows to deal with non-Lipschitz vector fields. We use the stochastic calculus and follow the martingale technics initiated in Berestycki and al [5] to control the fluctuations. Our main applications deal with the short time behavior of stochastic processes starting from large initial values. We state general properties on the coming down from infinity of one-dimensional SDEs, with a focus on stochastically monotone processes. In particular, we recover and complement known results on Lambda-coalescent and birth and death processes. Moreover, using Poincar{\\'e}'s compactification technicsfor dynamical systems close to infinity, we develop this approach in two dimensions for competitive stochastic models. We classify the coming down from infinity of Lotka-Volterra diffusions and provide uniform estimates for the scaling limits of competitive birth and death processes.

研究动机与目标

• 为受鞅扰动的随机过程提供统一的、轨迹层面的估计，即使漂移项非Lipschitz。
• 分析一维与二维随机过程中的‘从无穷大下降’现象，特别是在种群模型中的表现。
• 通过Poincaré紧化与锥中非扩张性，将近似技术推广至竞争性随机系统。
• 推导具有大初始值的竞争力出生死亡过程的标度极限，并在大初始值情形下实现统一估计。
• 通过非扩张性框架统一并推广$\backslashLambda$-共祖过程与Feller扩散的相关结果。

提出的方法

• 利用由$(\psi(x)-\psi(y))\cdot(x-y) \leq L\|x-y\|_2^2 + \alpha\|x-y\|_2$定义的$(L,\alpha)$-非扩张向量场，控制轨迹发散。
• 采用距离$d(x,y) = \|F(x) - F(y)\|_2$，其中$F$为$C^2$-光滑函数，以支持随机微积分与基于鞅的波动控制。
• 应用Gronwall型不等式与停时$T_D(x_0)$，以界定向量场域$D$的退出时间，并控制与确定性流的偏离。
• 引入Poincaré方法的紧化技术，以分析二维竞争系统在无穷远处的行为。
• 使用截断漂移$\psi^K$与Lipschitz逼近，处理非Lipschitz向量场，同时保持非扩张性性质。
• 应用[6]中的鞅技巧，控制波动并推导过程偏离流的统一概率界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维SDE中，从大初始值出发时，其‘从无穷大下降’的条件是什么？
• RQ2 如何利用非扩张流统一控制随机过程与确定性对应物之间的偏离？
• RQ3 竞争力出生死亡过程的标度极限是什么？在大初始值情形下如何实现统一近似？
• RQ4 Poincaré紧化如何帮助分析二维竞争扩散过程在无穷远处的行为？
• RQ5 非扩张性框架能否扩展至处理具有扩散与跳变成分的随机过程中非Lipschitz向量场的情形？

主要发现

• 对任意$\varepsilon > 0$，过程偏离确定性流超过$\varepsilon$的概率被统一界为$C_T \int_0^T \overline{V}_{d,\varepsilon}(x_0,t)\,dt$，对所有初始条件$x_0 \in D$成立。
• 论文证明了$T_D^K(x_1) \geq T_{D,\varepsilon}(x_0)$且$\|\phi(x_0,t) - \phi^K(x_1,t)\|_2 \leq \frac{\max(M,\eta)\exp((L+M)T)}{K}$，当$K$足够大时，确保截断下的稳定性。
• 对于满足$(\psi(x)-\psi(y))\cdot(x-y) \leq -\mu\|x\|_2\|x-y\|_2^2 $在$B(0,A)^c$上的向量场，系统表现出对有限状态的强吸引性，从而实现从无穷大下降。
• 该方法恢复并扩展了已知的$\backslashLambda$-共祖过程与出生死亡过程结果，表明块数的对数形式从无穷大以受控速率下降。
• 对于二维竞争Lotka-Volterra扩散过程，论文分类了其从无穷大下降的行为，并推导了标度极限的统一短时估计。
• 通过$F$-变换距离与$C^2$-光滑函数，结合Itô公式与鞅不等式，实现了对波动的精确控制。