[论文解读] Approximation of subharmonic functions

Igor Chyzhykov|ArXiv.org|Jul 13, 2008

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用 3

一句话总结

该论文在Riesz测度满足下界条件的前提下，建立了复平面上次调和函数被整函数的对数逼近的精确L1估计。证明了当Riesz测度缓慢但稳定增长时（例如，满足涉及慢变函数ψ的条件），在半径为R的圆盘上L1范数的逼近误差为O(R² log ψ(R))，且该界为最优，推广了Lyubarskii与Malinnikova的早期结果。

ABSTRACT

In certain classes of subharmonic functions u on C distinguished in terms of lower bounds for the Riesz measure of u, a sharp estimate is obtained for the rate of approximation by functions of the form log |f(z)|, where f is an entire function. The results complement and generalize those recently obtained by Yu. Lyubarskii and Eu. Malinnikova.

研究动机与目标

• 改进现有次调和函数由整函数模的对数逼近的L1估计。
• 解决当Riesz测度不满足Lyubarskii与Malinnikova所要求的强下界条件时，逼近速率的空白问题。
• 在Riesz测度的自然增长条件下，证明逼近误差界为最优。
• 解决M. Sodin关于是否存在常数α ∈ [0,1) 可改善L1范数下逼近速率的问题。

提出的方法

• 引入一类慢变函数ψ，以参数化环形区域中Riesz测度的增长。
• 通过关于Lebesgue测度对|z| < R的圆盘上|u(z) − log|f(z)||的积分估计进行分析。
• 应用Nevanlinna特征函数与计数函数，比较f的零点分布与u的Riesz测度。
• 通过形如∫ |n(t,f) − n(t,u) + α| / t dt的积分估计，采用反证法排除α < 1/2时此类f的存在性。
• 构造一个模型次调和函数uψ(z) = ½∑ log|1 − z/rk|，其Riesz测度满足μ({R < |z| ≤ Rψ(R)}) > 1的条件。
• 通过计数函数与Nevanlinna逼近函数的渐近分析，推导逼近误差的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Riesz测度满足弱下界条件而非强下界条件时，L1范数下的逼近误差是否可被改进？
• RQ2 在μ({R < |z| ≤ Rψ(R)}) > 1的条件下，L1逼近误差的O(R² log ψ(R))界是否为最优？
• RQ3 当Riesz测度缓慢增长时，L1范数下的逼近误差是否可用对数校正项log ψ(R)一致有界？
• RQ4 在给定的Riesz测度条件下，是否存在整函数f使得∫|u − log|f|| dm = O(R²)？
• RQ5 当Riesz测度增长慢于任意幂次时，是否可能获得优于O(R² log R)的逼近速率？

主要发现

• 对于Riesz测度满足μ({R < |z| ≤ Rψ(R)}) > 1的次调和函数u（其中ψ为慢变函数），在|z| < R上L1逼近误差为O(R² log ψ(R))。
• O(R² log ψ(R))界为最优：通过构造满足相同测度条件的模型次调和函数uψ，证明了无法获得更优的逼近速率。
• 除非Riesz测度在环形区域中至少以常数速度增长，否则逼近误差无法被O(R²)控制，而该条件在给定的ψ增长条件下不成立。
• 对于α ∈ [0,1)，不存在整函数f使得∫|u − log|f| − α log|z|| dm = O(R²)，即使Riesz测度条件成立。
• 该结果推广并加强了Lyubarskii与Malinnikova的早期结果，将逼近框架扩展至任意阶次调和函数。