[论文解读] Approximation of the invariant measure with an Euler scheme for Stochastic PDE's driven by Space-Time White Noise

Charles-Édouard Bréhier|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用 85

一句话总结

本文建立了半隐式欧拉格式对由空间-时间白噪声驱动的随机PDE的不变测度的弱收敛性。在有界非线性和耗散性假设下，证明了该数值格式对任意 $0 < \kappa < 1/2$，以弱收敛阶 $1/2 - \kappa$ 一致地逼近不变测度，且对具有有界导数的 $\mathcal{C}_b^2$ 测试函数成立。

ABSTRACT

In this article, we consider a stochastic PDE of parabolic type, driven by a space-time white-noise, and its numerical discretization in time with a semi-implicit Euler scheme. When the nonlinearity is assumed to be bounded, then a dissipativity assumption is satisfied, which ensures that the SDPE admits a unique invariant probability measure, which is ergodic and strongly mixing - with exponential convergence to equilibrium. Considering test functions of class $\\mathcal{C}^2$, bounded and with bounded derivatives, we prove that we can approximate this invariant measure using the numerical scheme, with order 1/2 with respect to the time step.

研究动机与目标

• 通过时间离散化的数值格式，建立由空间-时间白噪声驱动的随机PDE的不变概率测度的逼近。
• 研究欧拉格式的弱收敛误差是否在最终时间 $T = m\tau \to \infty$ 时保持有界，从而实现对不变测度的逼近。
• 将有限时间SDE的弱收敛结果推广至具有遍历性、强混合动力学的无限时间SPDE。
• 推导与最终时间 $T$ 无关的误差界，确保对不变测度的一致收敛。
• 在无限维、遍历SPDE且具有空间-时间白噪声的背景下，分析数值格式的收敛速率。

提出的方法

• 将SPDE在希尔伯特空间 $H = L^2(0,1)$ 中表述为由柱状维纳过程驱动的抽象随机演化方程。
• 采用时间步长为 $\tau$ 的半隐式欧拉格式进行时间离散化，保持SPDE的结构，不进行空间离散化。
• 利用与SPDE相关的柯尔莫哥洛夫方程，通过生成元及其在测试函数上的作用分析弱收敛性。
• 在抽象维纳空间中使用分部积分公式，估计柯尔莫哥洛夫方程解中的误差。
• 应用涉及算子 $(-B)^{-\alpha}$ 的谱估计，以控制半群及其导数的正则性和衰减速率。
• 对时间进行正则化，并将误差分解为多个项（$a_k, b_k, c_k$），以获得关于 $m$ 和 $\tau$ 的一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 半隐式欧拉格式能否逼近由空间-时间白噪声驱动的抛物型SPDE的不变测度？
• RQ2 该数值格式对不变测度的弱收敛速率如何，且是否在时间上一致？
• RQ3 当最终时间 $T = m\tau \to \infty$ 时，弱误差是否保持有界，从而实现对不变测度的逼近？
• RQ4 测试函数的正则性以及噪声的结构如何影响收敛速率？
• RQ5 能否在具有指数遍历性的SPDE的柯尔莫哥洛夫方程框架下，对误差分析实现时间上的一致性？

主要发现

• 在有界非线性和耗散性条件下，由空间-时间白噪声驱动的SPDE具有唯一的、遍历的且强混合的不变概率测度。
• 半隐式欧拉格式以弱收敛阶 $1/2 - \kappa$（对任意 $0 < \kappa < 1/2$）一致地逼近不变测度。
• 误差界的形式为 $C(1 + |y|^3)igl((m-1)^{-1/2 + \kappa} + 1\bigr)\tau^{1/2 - \kappa}$，且当 $m \to \infty$ 时仍保持一致。
• 收敛速率与最终时间 $T = m\tau$ 无关，从而可通过长时间模拟逼近不变测度。
• 分析依赖于柯尔莫哥洛夫方程解的指数衰减性以及生成元的谱性质。
• 误差分解与分部积分技术使得即使在无限维情形下，也能对各时间步的弱误差项实现一致控制。