[论文解读] Approximation properties of (p;q)-variant of Stancu-Schurer operators(Revised)

Abdul Wafi, Nadeem Rao|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文提出了一类新的 (p,q)-型 Stancu-Schurer 算子，该算子在逼近理论中推广了经典算子与 q-类算子。通过使用二阶模连续性、Peetre 的 K-泛函以及 Lipschitz 类，建立了收敛速率，并证明了以 (p,q)-整数和参数 α, β 表示的显式误差界下的直接逼近定理。

ABSTRACT

In this article, we have introduced (p;q)-variant of Stancu-Schurer operators and discussed the rate of convergence for continuous functions. We have also discussed recursive estimates Korovkin and direct approximation results using second order modulus of continuity, Peetres K-functional Lipschitz class.

研究动机与目标

• 将 Bernstein-Schurer 算子与 Stancu 算子扩展至 (p,q)-微积分框架，以提升逼近的灵活性。
• 分析新 (p,q)-型算子在 [0,1] 上连续函数的收敛速率。
• 利用二阶模连续性、Peetre 的 K-泛函以及 Lipschitz 类建立直接逼近结果。
• 通过引入参数 p 和 q，推广 q-逼近理论中的现有结果。

提出的方法

• 使用 (p,q)-整数和 (p,q)-二项式系数定义 (p,q)-型 Stancu-Schurer 算子。
• 利用涉及 [n]_p,q 和 p,q-二项式展开的递推恒等式，推导算子的矩估计。
• 应用 Korovkin 定理，证明算子在 [0,1] 上连续函数上的收敛性。
• 利用二阶模连续性和 Peetre 的 K-泛函，建立直接逼近估计。
• 采用 Hölder 不等式和 Lipschitz 类条件，对属于 Lip_M(α) 的函数的逼近误差进行有界。
• 证明在函数属于 Lip_M(α) 的情况下，收敛速率的界以 δ_n,l^α,β(x) = S_n,l^α,β((t−x)^2; x) 表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 [0,1] 上的连续函数，(p,q)-型 Stancu-Schurer 算子如何收敛？
• RQ2 使用二阶模连续性和 Peetre 的 K-泛函时，这些算子的收敛速率如何？
• RQ3 参数 α 和 β 在 (p,q)-框架下如何影响逼近误差？
• RQ4 Lipschitz 类条件能否用于推导 (p,q)-算子的显式误差界？
• RQ5 新 (p,q)-算子与现有的 q-类算子及经典 Bernstein-Schurer 算子之间存在何种关系？

主要发现

• 当 n→∞ 时，(p,q)-型 Stancu-Schurer 算子在 [0,1] 上连续函数上一致收敛，满足 Korovkin 定理。
• 收敛速率被二阶模连续性的常数倍所界定：|S_n,l^α,β(f;x)−f(x)| ≤ C ω_2(f; √Θ_n,l^α,β(x))。
• 对于属于 Lipschitz 类 Lip_M(α) 的函数，误差被界为 M (δ_n,l^α,β(x))^{α/2}，其中 δ_n,l^α,β(x) = S_n,l^α,β((t−x)^2; x)。
• 逼近误差还依赖于参数比 [n+l]_p,q / ([n]_p,q + β)，当 n→∞ 时该比值趋于 1，从而保证收敛性。
• 结果推广了 Mursaleen 等人提出的 (p,q)-Bernstein-Schurer 算子，当 α=β=0 时退化为其情形。
• 使用 Peetre 的 K-泛函可得到结合光滑性与算子矩的更精细误差估计。