[论文解读] Approximation Schemes for Bounded Distance Problems on Fractionally Treewidth-Fragile Graphs

Zdenĕk Dvořák, A. Lahiri|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research参考文献 20被引用 1

一句话总结

本论文为在分数路径宽脆弱图类上定义的有界距离约束单调最大化问题提出了多项式时间近似方案（PTAS）。通过利用分数路径宽脆弱性与距离保持定向，该方法借助树分解与局部搜索实现高效近似，对任意固定 k 在多项式时间内实现 (1−1/k)-近似。

ABSTRACT

We give polynomial-time approximation schemes for monotone maximization problems expressible in terms of distances (up to a fixed upper bound) and efficiently solvable in graphs of bounded treewidth. These schemes apply in all fractionally treewidth-fragile graph classes, a property that is true for many natural graph classes with sublinear separators. We also provide quasipolynomial-time approximation schemes for these problems in all classes with sublinear separators.

研究动机与目标

• 为具有次线性分隔符的图上的单调、(≤r)-距离决定问题设计多项式时间近似方案（PTAS）
• 通过分数路径宽脆弱性将 PTAS 的适用范围从平面图与子图封闭图类扩展至更广泛的图类
• 为无权与加权问题（包括独立集、诱导森林及 (F,r)-匹配）提供统一框架
• 证明在具有有界距离谓词的解受限 MSOL 中表达的问题可在分数路径宽脆弱类中实现高效近似
• 克服先前方法的局限性，如仅适用于无权问题的局部搜索，以及不适用于所有次线性分隔符类的 Baker 分层方法

提出的方法

• 利用分数路径宽脆弱性，采样顶点子集 X₁,…,Xₘ，使得每个顶点仅属于少数子集，从而实现稀疏覆盖
• 构造输入图 G 的有向图 ⃗G，其最大出度有界，且通过 fraternal 增广保持距离至多为 r
• 利用该有向图定义可达集 D⃗G,r(Xᵢ)，表示在有向意义下距离 Xᵢ 不超过 r 的顶点集合
• 对每个 Xᵢ，利用树分解与 (g,p)-tw-可处理性，在 G−Xᵢ 中计算最大权重可行子集
• 应用概率论证证明：至少存在一个 Xᵢ 可产生接近最优权重 (1−1/k) 的解
• 将所有 m 个候选解中的最优解合并，从而在多项式时间内实现 (1−1/k)-近似

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为所有分数路径宽脆弱图类中的 (≤r)-距离决定、c-近似单调、(g,p)-tw-可处理问题设计 PTAS？
• RQ2 是否存在最大出度有界的距离保持定向，使其在这些图类中支持高效近似？
• RQ3 该方法能否扩展至所有次线性分隔符类中的准多项式时间近似方案？
• RQ4 该框架如何统一平面图、子图封闭图与几何图的现有 PTAS 结果？
• RQ5 在 k 与图参数方面，近似比与运行时间之间的权衡如何？

主要发现

• 本论文在分数路径宽脆弱图类中，为所有 (≤r)-距离决定、c-近似单调、(g,p)-tw-可处理问题建立了 PTAS
• 可在 O(r²d′(r)|V(G)|) 时间内计算出最大出度 d′(r) = (r+1)^(r−1)·d(r−1) 的距离保持定向
• 对任意固定 k，该算法在 |V(G)| 的多项式时间内实现 (1−1/k)-近似
• 该框架适用于最大 r-独立集、最大权重诱导森林、最大 (F,r)-匹配等问题
• 该方法推广了 Baker 的分层法与双参数性技术，适用于更广泛的图类，包括具有次线性分隔符但不一定是子图封闭的图类
• 该方法避免了薄叠加系统的技术复杂性，同时保持了广泛的适用性