[论文解读] Approximation Schemes for Maximum Weight Independent Set of Rectangles

Anna Adamaszek, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文提出了最大权矩形独立集（MWISR）问题首个准多项式时间$(1+\varepsilon)$-近似方案，采用一种新颖的几何动态规划方法，通过递归地将平面划分为有界复杂度的多边形。关键贡献是在时间$2^{\mathrm{poly}(\log n / \varepsilon)}$内实现$(1+\varepsilon)$-近似，解决了矩形情形下长期悬而未决的开放问题，并表明除非NP ⊆ DTIME($2^{\mathrm{polylog}\,n}$)，否则MWISR不是APX-难的。

ABSTRACT

In the Maximum Weight Independent Set of Rectangles (MWISR) problem we are given a set of n axis-parallel rectangles in the 2D-plane, and the goal is to select a maximum weight subset of pairwise non-overlapping rectangles. Due to many applications, e.g. in data mining, map labeling and admission control, the problem has received a lot of attention by various research communities. We present the first (1+epsilon)-approximation algorithm for the MWISR problem with quasi-polynomial running time 2^{poly(log n/epsilon)}. In contrast, the best known polynomial time approximation algorithms for the problem achieve superconstant approximation ratios of O(log log n) (unweighted case) and O(log n / log log n) (weighted case). Key to our results is a new geometric dynamic program which recursively subdivides the plane into polygons of bounded complexity. We provide the technical tools that are needed to analyze its performance. In particular, we present a method of partitioning the plane into small and simple areas such that the rectangles of an optimal solution are intersected in a very controlled manner. Together with a novel application of the weighted planar graph separator theorem due to Arora et al. this allows us to upper bound our approximation ratio by (1+epsilon). Our dynamic program is very general and we believe that it will be useful for other settings. In particular, we show that, when parametrized properly, it provides a polynomial time (1+epsilon)-approximation for the special case of the MWISR problem when each rectangle is relatively large in at least one dimension. Key to this analysis is a method to tile the plane in order to approximately describe the topology of these rectangles in an optimal solution. This technique might be a useful insight to design better polynomial time approximation algorithms or even a PTAS for the MWISR problem.

研究动机与目标

• 解决在多项式时间内实现MWISR的$(1+\varepsilon)$-近似这一长期悬而未决的开放问题。
• 克服现有针对加权矩形的$O(\log n / \log\log n)$-近似算法的局限性。
• 开发一种适用于有界复杂度几何独立集问题的一般性几何动态规划框架。
• 在标准复杂度假设下，证明MWISR不是APX-难的，除非NP ⊆ DTIME($2^{\mathrm{polylog}\,n}$)。

提出的方法

• 提出一种几何动态规划（GEO-DP），通过从最优解中导出的一组直线，递归地将平面划分为有界复杂度的多边形。
• 采用一种新颖的划分技术，确保最优解中的矩形仅在受控的、低权重区域与划分线相交。
• 应用加权平面图分隔定理，以控制递归子问题的数量并限制近似损失。
• 针对$\delta$-大矩形（在至少一个维度上较大的矩形）引入铺砌方法，以实现在该特殊情况下的多项式时间$(1+\varepsilon)$-近似。
• 利用随机网格偏移，以概率方式最小化被网格线相交的矩形权重，从而确保近似损失较低。
• 将GEO-DP的参数设为$k = (1/\varepsilon)(1/\delta)^{O(1)}$，以平衡递归深度与近似质量。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏常数因子的多项式时间算法，是否仍可为MWISR设计出准多项式时间的$(1+\varepsilon)$-近似方案？
• RQ2 哪些几何与动态规划技术可用于对平面进行划分，使得最优解的损失不超过$\varepsilon$的分数？
• RQ3 能否利用$\delta$-大矩形的结构特性，实现多项式时间的$(1+\varepsilon)$-近似？
• RQ4 自然LP松弛的整数规划间隙与MWISR复杂性之间存在何种关系？能否通过几何技术对其进行有界控制？
• RQ5 MWISR是否为APX-难问题？在合理的复杂度假设下，它是否具有PTAS？

主要发现

• 本文首次提出MWISR的$(1+\varepsilon)$-近似算法，其准多项式时间复杂度为$2^{\mathrm{poly}(\log n / \varepsilon)}$。
• 通过确保被划分线相交的矩形总权重不超过$\varepsilon \cdot w(\mathcal{R})$，该算法实现了$1+O(\varepsilon)$的近似比。
• 对于$\delta$-大矩形的特殊情况（即$\max\{g_i, h_i\} \in [K, (1/\delta)K]$），该算法可实现多项式时间的$(1+\varepsilon)$-近似。
• 该方法表明，在标准复杂度假设下，除非NP ⊆ DTIME($2^{\mathrm{polylog}\,n}$)，否则MWISR不是APX-难的。
• 几何动态规划框架具有通用性，可能适用于其他几何独立集问题。
• 分析依赖于加权平面图分隔定理的创新应用，以及随机网格偏移技术，以最小化近似损失。