[论文解读] Approximation Schemes for Minimizing the Maximum Lateness on a Single Machine with Release Times under Non-Availability or Deadline Constraints

Imed Kacem, Hans Kellerer|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 28被引用 14

一句话总结

本文针对具有释放时间的四种单机调度问题，提出了多项式时间近似方案（PTAS），目标是在包含共同截止日期、非可用时间段（机器或操作员）以及双准则目标等约束条件下，最小化最大延迟。作者通过利用作业划分、战略性的时间窗离散化以及动态规划，为每种变体设计了PTAS，证明了对于任意ε>0，每个问题均可在多项式时间内获得(1+ε)-近似解。

ABSTRACT

In this paper, we consider four single-machine scheduling problems with release times, with the aim of minimizing the maximum lateness. In the first problem we have a common deadline for all the jobs. The second problem looks for the Pareto frontier with respect to the two objective functions maximum lateness and makespan. The third problem is associated with a non-availability constraint. In the fourth one, the non-availibility interval is related to the operator who is organizing the execution of jobs on the machine (no job can start, and neither can complete during the operator non-availability period). For each of the four problems, we establish the existence of a polynomial time approximation scheme (PTAS).

研究动机与目标

• 解决具有释放时间及截止日期或非可用时间段约束的四种具有挑战性的单机调度问题。
• 在维护窗口或操作员可用性等实际运营约束下，最小化调度中的关键性能指标——最大延迟。
• 将现有近似算法扩展至包含释放时间和非可用性的情况，这些情况在工业环境中十分常见。
• 证明四种问题变体中每一类均存在PTAS，确保对任意ε>0，可在多项式时间内获得(1+ε)-近似解。

提出的方法

• 针对每种问题变体，作者通过离散化关键作业的可行开始时间区间（特别是跨越非可用时间段的作业）来设计PTAS。
• 采用猜测策略识别潜在的跨越作业，并在其有界时间窗内固定其开始时间，从而缩小搜索空间。
• 对于每个猜测的开始时间，将问题转化为先前已解决的问题实例（如机器非可用性问题），并应用已知的PTAS。
• 将跨越作业的开始时间窗划分为O(1/ε)个子区间，确保近似误差保持在最优值的ε以内。
• 最终解从所有由离散化时间窗生成的候选解中选取最优者，保证获得(1+ε)-近似解。
• 该方法依赖于结构洞察（如处理时间超过非可用时间段的作业为关键作业），并利用动态规划或对少量作业集合的枚举。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有释放时间且所有作业具有共同截止日期的单机调度问题，是否存在PTAS以最小化最大延迟？
• RQ2 能否为在释放时间约束下同时最小化makespan与最大延迟的双准则问题设计PTAS？
• RQ3 对于存在机器非可用时间段（即固定时间段内无法处理任何作业）的调度问题，是否存在PTAS？
• RQ4 对于存在操作员非可用时间段（即作业无法在禁止时间段内开始或完成）的调度问题，能否构建PTAS？
• RQ5 如何调整近似方案以处理跨越非可用时间段的作业，同时不违反约束条件？

主要发现

• 对于具有释放时间及共同截止日期的单机调度问题，存在PTAS，可对任意ε>0在多项式时间内获得(1+ε)-近似解。
• 针对在释放时间约束下同时最小化makespan与最大延迟的双准则问题，已建立PTAS，支持权衡分析。
• 对于机器非可用时间段问题，通过将问题转化为等价实例并结合时间离散化，构造了PTAS。
• 对于操作员非可用时间段问题，通过聚焦于跨越作业并对其开始时间窗进行离散化，开发了PTAS。
• 该近似方案对所有四种问题变体均实现了(1+ε)-近似，运行时间在输入规模和1/ε上均为多项式时间。
• 本研究通过引入释放时间并证明此前未解决的问题存在PTAS，扩展了非可用性调度的既有工作。