[论文解读] Approximation schemes for mixed optimal stopping and control problems with nonlinear expectations and jumps

Roxana Dumitrescu, Christoph Reisinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对具有无限活动跳跃的非线性期望下混合最优停时与控制问题的新型数值格式。通过结合分段常数策略时间推进法（PCPT）与扩散项和非局部项的全隐式单调格式，并采用Lax-Friedrichs格式处理梯度非线性项，该方法确保了收敛性，并为所得切换系统提供了存在性解的构造性证明。

ABSTRACT

We propose a class of numerical schemes for mixed optimal stopping and control of processes with infinite activity jumps and where the objective is evaluated by a nonlinear expectation. Exploiting an approximation by switching systems, piecewise constant policy timestepping reduces the problem to nonlocal semi-linear equations with different control parameters, uncoupled over individual time steps, which we solve by fully implicit monotone approximations to the controlled diffusion and the nonlocal term, and specifically the Lax-Friedrichs scheme for the nonlinearity in the gradient. We establish a comparison principle for the switching system and demonstrate the convergence of the schemes, which subsequently gives a constructive proof for the existence of a solution to the switching system. Numerical experiments are presented for a recursive utility maximization problem to demonstrate the effectiveness of the new schemes.

研究动机与目标

• 开发一种针对涉及非线性期望与无限活动跳跃过程的混合最优停时与控制问题的鲁棒数值方法。
• 解决由模型不确定性下递归效用最大化与稳健风险度量所引致的完全非线性PIDE求解挑战。
• 通过新型逼近格式的收敛性，提供解存在的构造性证明。
• 将现有数值方法扩展至线性期望情形之外，尤其适用于BSDE框架中的非线性驱动项。
• 在驱动项与跳跃系数满足一般Lipschitz条件的前提下，确保格式的稳定性和收敛性。

提出的方法

• 采用分段常数策略时间推进法（PCPT），将控制问题分解为在离散时间步长上的非局部半线性方程序列。
• 应用全隐式单调有限差分格式，以逼近受控扩散项与非局部跳跃项。
• 采用Lax-Friedrichs格式处理BSDE中由驱动项引起的梯度项非线性。
• 构建一个切换系统形式，将不同控制动作下的值函数耦合，从而实现类似策略迭代的收敛性。
• 为切换系统建立比较原理，以保证数值格式的唯一性与收敛性。
• 利用带跳跃的BSDE解的先验估计与稳定性界，控制因近似小跳跃而引入的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有无限活动跳跃的非线性期望下的混合最优停时与控制问题构造一个收敛的数值格式？
• RQ2 在缺乏半光滑性的情况下，如何稳健地处理驱动项与梯度项中的非线性？
• RQ3 对小跳跃的近似对格式整体收敛性与稳定性有何影响？
• RQ4 能否从数值格式的收敛性出发，导出解存在的构造性证明？
• RQ5 与标准的“先离散后优化”方法相比，所提方法在鲁棒性与一般非线性驱动项适用性方面表现如何？

主要发现

• 所提格式在一般假设下（包括驱动项与跳跃系数的Lipschitz连续性）收敛至非线性HJB变分不等方程的粘性解。
• 为切换系统建立了比较原理，确保了粘性解的唯一性。
• 该格式通过逼近序列的收敛性，为切换系统解的存在性提供了构造性证明。
• 由于截断小跳跃而引入的非线性期望近似误差被控制在 $ C( ho( ho))^{1/4} $ 以内，其中 $ \rho $ 控制跳跃大小的阈值。
• 数值实验验证了该格式在求解带跳跃与非线性期望的递归效用最大化问题中的有效性。
• 该方法成功处理了一般非线性驱动项，即使其不一定是半光滑的，克服了牛顿型求解器的局限性。