[论文解读] Approximation to real numbers by cubic algebraic integers II

Damien Roy|ArXiv.org|Oct 11, 2002

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 9

一句话总结

该论文证明，用三次代数整数逼近超越实数时，最优指数为 (3 + √5)/2 ≈ 2.618，而非此前猜想的 3。通过在 GL₂(ℤ) 中利用递推关系定义的极端实数，作者构造了一类超越数，其逼近度量是精确的，通过详细分析连分数类序列与丢番图逼近性质，证明了指数 γ² = ((1+√5)/2)² 是最优的。

ABSTRACT

It has been conjectured for some time that, for any integer n\ge 2, any real number ε>0 and any transcendental real number ξ, there would exist infinitely many algebraic integers αof degree at most n with the property that |ξ-α| < H(α)^{-n+ε}, where H(α) denotes the height of α. Although this is true for n=2, we show here that, for n=3, the optimal exponent of approximation is not 3 but (3+\sqrt{5})/2 = 2.618...

研究动机与目标

• 解决关于用三次代数整数逼近超越实数时最优逼近指数为 3 的猜想。
• 证明实际最优指数为 (3 + √5)/2 ≈ 2.618，小于 3。
• 构造满足精确逼近界限的极端实数的显式例子。
• 通过 GL₂(ℤ) 中的递推结构与丢番图逼近技术，证明指数 γ² = ((1+√5)/2)² 是最优的。

提出的方法

• 将代数整数 α 的高度 H(α) 定义为其最小多项式在 ℤ 上的系数绝对值的最大值。
• 通过满足增长性、逼近性和行列式有界条件的 ℤ³ 中序列 (xₖ) 来刻画极端实数（命题 2.1）。
• 利用 GL₂(ℤ) 中的递推关系，定义一类极端数 E(M)，其中矩阵 M = [[a,1],[-1,0]]，a 为正整数。
• 应用命题 2.2，若 {xₖ,₀ξ³} 有下界，则对所有三次代数整数 α，有 |ξ − α| ≥ cH(α)^−γ²。
• 利用引理 2.6 中的递推公式，分析 {xₖ,₀ξ³} 模 1 的性质，证明其具有正的下界。
• 利用文献 [6] 中的命题 9.2，证明 {xₖ,₀ξ³} ≥ c₉Xₖ^−1/γ³，从而确保命题 2.2 中的下界条件成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 关于用三次代数整数逼近超越实数时，猜想的指数 n = 3 是否最优？
• RQ2 该指数能否低于 3？若能，其真实最优值是什么？
• RQ3 通过斐波那契类连分数构造的极端实数是否满足精确逼近界限？
• RQ4 在模 1 意义下，序列 {xₖ,₀ξ³} 保持远离零的条件是什么？
• RQ5 能否利用 GL₂(ℤ) 中的递推结构构造出实现最优指数的显式数的例子？

主要发现

• 用三次代数整数逼近超越实数的最优指数为 τ₃ = ((1+√5)/2)² = (3+√5)/2 ≈ 2.618，而非 3。
• 存在一个超越实数 ξ 和常数 c₁ > 0，使得对所有三次代数整数 α，有 |ξ − α| ≥ c₁H(α)^−γ²。
• 通过 M = [[a,1],[-1,0]]（a 为正整数）定义的极端数类 Ea 满足以指数 γ² 为界的精确逼近界限。
• 对于 ξ ∈ Ea，序列 {xₖ,₀ξ³} 模 1 最多有三个非零聚点，且对充分大的 k，其下界为正的常数。
• 证明的关键在于证明 {xₖ,₀ξ³} ≥ c₉Xₖ^−1/γ³，并利用该结果验证命题 2.2 的假设。
• 该结果表明，猜想 τₙ = n 对所有 n ≥ 2 成立在 n = 3 时不成立，因为 τ₃ = γ² < 3。