[论文解读] Approximations for the Moments of Nonstationary and State Dependent Birth-Death Queues

Stefan Engblom, Jamol Pender|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 21被引用 17

一句话总结

本文提出了一种新颖的谱近似方法，利用泊松-谢列夫多项式来估计非平稳且状态相关的出生-死亡过程的各阶矩，首次为排队理论中的矩闭近似提供了可证明的误差界。该方法即使在矩方程未闭合的情况下，也能仅通过少量展开项，实现对均值、方差及其他矩的精确且收敛的估计。

ABSTRACT

In this paper we propose a new method for approximating the nonstationary moment dynamics of one dimensional Markovian birth-death processes. By expanding the transition probabilities of the Markov process in terms of Poisson-Charlier polynomials, we are able to estimate any moment of the Markov process even though the system of moment equations may not be closed. Using new weighted discrete Sobolev spaces, we derive explicit error bounds of the transition probabilities and new weak a priori estimates for approximating the moments of the Markov processs using a truncated form of the expansion. Using our error bounds and estimates, we are able to show that our approximations converge to the true stochastic process as we add more terms to the expansion and give explicit bounds on the truncation error. As a result, we are the first paper in the queueing literature to provide error bounds and estimates on the performance of a moment closure approximation. Lastly, we perform several numerical experiments for some important models in the queueing theory literature and show that our expansion techniques are accurate at estimating the moment dynamics of these Markov process with only a few terms of the expansion.

研究动机与目标

• 解决非平稳且状态相关的出生-死亡过程中矩的闭式解和可靠近似方法的缺乏问题。
• 克服矩方程未闭合的挑战，即低阶矩依赖于高阶矩的问题。
• 开发一种具有可证明误差界的矩近似方法，填补排队理论中的关键空白。
• 提供一种基于离散正交多项式的近似方法，尊重排队过程的非负整数值特性。

提出的方法

• 将出生-死亡过程的转移概率和状态概率按泊松-谢列夫多项式展开，这些多项式相对于泊松分布是正交的。
• 利用加权离散Sobolev空间，推导出转移概率截断展开的显式误差界。
• 应用陈-斯坦恒等式，将阶乘矩关联起来，简化涉及指示函数和截断随机变量的期望计算。
• 利用展开系数和正交多项式结构，为矩动态中的近似误差推导出弱先验估计。
• 将无限级数展开截断为有限项，以实现实际计算，同时保持收敛性和误差控制。
• 通过标准排队模型的数值实验验证该方法，结果表明即使使用低阶展开也能实现高精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非平稳且状态相关的出生-死亡过程构建一种具有可证明误差界的矩闭近似？
• RQ2 如何以保持排队过程离散性和非负性结构的方式展开转移概率？
• RQ3 随着泊松-谢列夫展开中增加更多项，矩近似的收敛速率如何？
• RQ4 对转移概率的误差界如何转化为对过程矩的误差界？
• RQ5 该方法是否能在仅使用少数展开项的情况下，对中等系统速率也实现高精度？

主要发现

• 所提出的方法首次为非平稳且状态相关的出生-死亡过程的矩闭近似提供了可证明的误差界。
• 随着泊松-谢列夫展开中增加更多项，近似结果收敛于真实过程，且推导出了显式的截断误差界。
• 数值实验表明，仅使用两到三项展开即可对均值、方差及其他性能指标提供高度精确的估计。
• 该方法优于现有方法（如埃尔米特和拉盖尔展开），因其尊重了排队过程的离散性和非负性。
• 加权离散Sobolev空间的使用使得能够严格推导出此前排队系统谱方法中不可用的误差界。
• 该方法成功处理了多服务器队列、时变速率及顾客放弃等复杂排队模型，展现出广泛适用性。