[论文解读] Approximations of the Densest k-Subhypergraph and Set Union Knapsack problems

Richard Taylor|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Optimization and Packing Problems参考文献 4被引用 15

一句话总结

本文首次为Densest k-Subhypergraph Problem (DkSHP) 和 Set Union Knapsack Problem (SUKP) 提供了近似算法，分别实现了 $O(n^{\theta_m + 2\theta})$ 和 $O(n^{\bar{\alpha}_m + \epsilon})$ 的近似比，其中 $\theta_m = \frac{1}{2}m - \frac{1}{2} - \frac{1}{2m}$ 且 $\bar{\alpha}_m = \frac{2}{3}\left[m - 1 - \frac{2m - 2}{m^2 + m - 1}\right]$，对于固定的 $m$ 和 $\epsilon$，运行时间在 $n$ 上为多项式时间。该方法结合了迭代取整与子图采样技术，将稠密子图的近似结果扩展至超图与背包设置。

ABSTRACT

For any given $ε>0$ we provide an algorithm for the Densest $k$-Subhypergraph Problem with an approximation ratio of at most $O(n^{θ_m+2ε})$ for $θ_m=\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}-\frac{1}{2m}$ and run time at most $O(n^{m-2+1/ε})$, where the hyperedges have at most $m$ vertices. We use this result to give an algorithm for the Set Union Knapsack Problem with an approximation ratio of at most $O(n^{α_m+ε})$ for $α_m=\frac{2}{3}[m-1-\frac{2m-2}{m^2+m-1}]$ and run time at most $O(n^{5(m-2)+9/ε})$, where the subsets have at most $m$ elements. The author is not aware of any previous results on the approximation of either of these two problems.

研究动机与目标

• 为Densest k-Subhypergraph Problem (DkSHP) 和 Set Union Knapsack Problem (SUKP) 开发首个近似算法，这些问题是若干已知 NP-难问题的推广。
• 为 DkSHP 和 SUKP 建立依赖于最大超边大小 $m$ 的近似比，明确给出近似因子与运行时间的界。
• 通过约化与迭代取整方法，将已知稠密子图近似技术扩展至超图，再推广至更复杂的 SUKP 问题。
• 为所提出的算法提供近似质量与计算效率的理论保证，尤其针对固定的 $m$ 和小的 $\epsilon > 0$ 情况。

提出的方法

• 以 $O(k^{m-1})$ 近似算法为基础，用于 $m$-均匀超图上的 DkSHP，利用任意 $k$ 个顶点最多包含 $\binom{k}{m} \leq k^m$ 条超边的事实。
• 通过引理 2.2 的概率论证，证明选择 $\lfloor k/2 \rfloor$ 个顶点可获得至少 $\frac{1}{3^m}$ 的最大 $m$-超边数量，从而支持递归近似策略。
• 利用引理 2.3 将无权 DkSHP 的近似推广至加权 DkSHWP 情况，通过将边权四舍五入为 2 的幂次并求解多个实例，实现 $O(f(n)\log n)$ 近似。
• 通过构造一个超图 $H^*$，将 SUKP 约化为 DkSHWP 实例，其中 $P$ 中的每个子集对应一条超边，并利用 DkSHWP 的近似结果推导出 SUKP 的近似解。
• 应用迭代采样与基于度的选取策略，从近似超图中构造可行解，确保最终解的利润近似于最优解，误差在 $O(n^{\alpha_m + \epsilon})$ 以内。
• 通过超图结构的归纳与情况分析，对近似比与运行时间进行界控，最终近似因子由子图近似与对数数量的权重轮次组合得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 当超边大小最多为 $m$ 时，Densest k-Subhypergraph Problem 的最佳可能近似比是多少？
• RQ2 稠密子图的近似框架能否扩展至有界边大小的超图？其结果的近似质量如何？
• RQ3 如何将 Set Union Knapsack Problem 约化为超图问题，以利用现有的近似技术？
• RQ4 这些问题的近似比与运行时间之间存在何种权衡，特别是关于 $m$ 和 $\epsilon$ 的影响？
• RQ5 能否为 SUKP 实现一个依赖于 $m$ 和 $\epsilon$ 的多项式时间近似方案？

主要发现

• 本文为超边大小最多为 $m$ 的 Densest k-Subhypergraph Problem 实现了 $O(n^{\theta_m + 2\epsilon})$ 的近似比，其中 $\theta_m = \frac{1}{2}m - \frac{1}{2} - \frac{1}{2m}$。
• 对于 Set Union Knapsack Problem，本文提供了 $O(n^{\alpha_m + \epsilon})$ 的近似比，其中 $\alpha_m = \frac{2}{3}\left[m - 1 - \frac{2m - 2}{m^2 + m - 1}\right]$，$m$ 为最大子集大小。
• DkSHP 近似算法的运行时间上限为 $O(n^{m - 2 + 1/\epsilon})$，SUKP 的运行时间为 $O(n^{5(m - 2) + 9/\epsilon})$，对于固定的 $m$ 和 $\epsilon > 0$，两者在 $n$ 上均为多项式时间。
• SUKP 的近似通过约化为加权 DkSHWP 问题获得，利用子集利润的迭代取整与超图子结构上的递归采样策略。
• 分析表明，由于对数因子被渐近界吸收，SUKP 的最终近似因子在 $n$ 较大时小于 $O(n^{\alpha_m + 2\epsilon})$。
• 表 1 提供了 $m = 2$ 到 $6$ 时 $\theta_m$ 与 $\alpha_m$ 的显式值，显示随着 $m$ 增大，近似比改善，其中 $\theta_6 = 29/12 \approx 2.42$，$\alpha_6 = 130/41 \approx 3.17$。