[论文解读] Approximations of the domination number of a graph

Glenn G. Chappell, John Gimbel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文研究了图中支配数 γ(G) 的近似方法，采用分数支配数 γf(G) 和贪心支配数 γg(G)。研究证明 γg(G)/γf(G) = O(log n)，并构造了图例表明 γ/γf 和 γg/γ 的比值均可达到 Θ(log n)，从而证明这些界在渐近意义上是紧致的。研究还比较了两个关于 γg(G) 的上界，表明在不同情境下 O(log n) 或 O(n log δ / δ) 的界更具优势。

ABSTRACT

Given a graph G, the domination number gamma(G) of G is the minimum order of a set S of vertices such that each vertex not in S is adjacent to some vertex in S. Equivalently, label the vertices from {0, 1} so that the sum over each closed neighborhood is at least one; the minimum value of the sum of all labels, with this restriction, is the domination number. The fractional domination number gamma_f(G) is defined in the same way, except that the vertex labels are chosen from [0, 1]. Given an ordering of the vertex set of G, let gamma_g(G) be the approximation of the domination number by the standard greedy algorithm. Computing the domination number is NP-complete; however, we can bound gamma by these two more easily computed parameters: gamma_f(G) <= gamma(G) <= gamma_g(G). How good are these approximations? Using techniques from the theory of hypergraphs, one can show that, for every graph G of order n, gamma_g(G) / gamma_f(G) = O(log n). On the other hand, we provide examples of graphs for which gamma / gamma_f = Theta(log n) and graphs for which gamma_g / gamma = Theta(log n). Lastly, we use our examples to compare two bounds on gamma_g.

研究动机与目标

• 分析贪心算法在支配数近似中的表现，通过 γg(G) 与分数支配数 γf(G) 进行比较。
• 确定已知关于 γg(G) 的上界（特别是 O(γf(G) log n) 和 O(n log δ / δ)）的紧致性。
• 构造显式图族，使得 γ/γf 和 γg/γ 的比值达到 Θ(log n)，从而证明这些界在渐近意义上是紧致的。

提出的方法

• 利用超图理论推导出 γg(G)/γf(G) 的 O(log n) 上界。
• 应用概率方法，证明随机图 Rn 几乎必然不包含小的支配集，从而表明对无穷多个 n 有 γ(G)/γf(G) = Θ(log n)。
• 构造显式图 Ht，满足 γf(Ht) = γ(Ht) = 4 且 γg(Ht) = t = Θ(log n)，证明 γg/γ 的比值为 Θ(log n)。
• 通过特定图构造比较 γg(G) 的两个上界：一个基于 γf(G) 和 log n，另一个基于 n log δ / δ，以评估其紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 γg(G)/γf(G) 是否可被 O(log n) 有界，且该界是否渐近紧致？
• RQ2 是否存在图使得 γ(G)/γf(G) = Θ(log n)，表明分数支配数对支配数的近似效果较差？
• RQ3 贪心算法的性能比值 γg(G)/γ(G) 是否可达到 Θ(log n)，表明其可能显著高估真实支配数？
• RQ4 在不同图族中，γg(G) 的两个上界 —— O(γf(G) log n) 与 O(n log δ / δ) —— 哪一个更紧致？

主要发现

• 比值 γg(G)/γf(G) 为 O(log n)，且该界渐近紧致，通过概率构造图例证明该比值可达 Θ(log n)。
• 存在阶为 n 的图 Gn，使得 γ(Gn)/γf(Gn) = Θ(log n)，证明分数支配数可能对支配数的近似效果较差。
• 构造了显式图 Ht，使得 γg(Ht)/γ(Ht) = Θ(log n)，表明贪心算法可能因对数因子而高估支配数。
• 对于图 Ht，边界 γg(G) ≤ c1 γf(G) log n 是紧致的（Θ(log n)），而 γg(G) ≤ c2 n log δ / δ 是松散的（Θ(n)），表明前者在此情况下更优。
• 相反，在毛刺团（t-团带悬挂点）中，边界 γg(G) ≤ c2 n log δ / δ 是紧致的（Θ(n)），而 γg(G) ≤ c1 γf(G) log n 是松散的（Θ(n log n)），表明后者在其他情况下可能表现更差。
• 本文结论为：γg(G) ≤ c1 γf(G) log n 和 γg(G) ≤ c2 n log δ / δ 两个边界并无普遍优劣之分；其紧致性取决于图的结构。