[论文解读] Approximative solution of the spin free Hamiltonian involving only scalar potential for the quark-antiquark system

Yoon-Seok Choun|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新的特殊函数——广义合流超几何（GCH）函数，用于近似小夸克质量下夸克-反夸克系统的自旋无关哈密顿量。通过推广合流超几何函数理论，GCH函数实现了具有三重递推关系的解析解，揭示了隐藏的径向量子数及与超对称性和强子谱学相关的新型质量公式。

ABSTRACT

In earlier papers [3,4,5,6] Gursey et al. showed development of a bilocal baryon-meson field from two quark-antiquark fields. The Hamiltonian in the case of vanishing quark masses was shown to have a very good agreement with experiments [5]. The theory for vanishing mass was solved using Confluent Hypergeometric functions [6]. In this paper I construct the normalized wave function for the spin-free Hamiltonian with light quark masses (only up to the first order of the mass of quark). I develop the new kind of special function theory in mathematics that generalize all existing theories of Confluent Hypergeometric types. I call it the 'Grand Confluent Hypergeometric (GCH) Function.' My solution produces previously unknown extra "hidden" radial quantum numbers relevant for description of supersymmetry and for generating new mass formulas. This paper is 1st out of 10 in series "Special functions and three term recurrence formula (3TRF)". See section 6 for all the papers in the series. The next paper in the series describes generalization of three term recurrence relation in linear ordinary differential equations and its applications [8].

研究动机与目标

• 通过引入小夸克质量，将超对称夸克模型扩展至零质量极限之外。
• 解决现有合流超几何函数在描述非零夸克质量下产生三重递推关系的体系时的局限性。
• 发展一种新的数学框架——广义合流超几何（GCH）函数，以推广现有特殊函数理论。
• 识别此前未知的隐藏径向量子数，或可解释介子与重子Regge轨迹中的简并性与质量模式。
• 为未来利用相同形式化体系推导奇特强子（如四夸克态、反重子）的质量公式奠定基础。

提出的方法

• 为具有标量束缚势和一阶夸克质量修正的 $q-\bar{q}$ 系统构建自旋无关哈密顿量。
• 从哈密顿量导出二阶线性微分方程，导致幂级数展开中的三重递推关系。
• 引入广义合流超几何（GCH）函数作为合流超几何函数的推广，以求解所得微分方程。
• 建立GCH函数与已知特殊函数之间的联系，通过参数代换（$\mu=1$, $\varepsilon\omega = -q$）与双合流Heun函数关联。
• 运用三重递推公式（3TRF）技术，推导GCH函数幂级数系数的解析解。
• 应用该形式化体系提取本征值与本征函数，识别出超越标准径向量子数的新量子数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在零质量极限之外，对具有小夸克质量的自旋无关夸克-反夸克哈密顿量实现解析求解？
• RQ2 当相对论夸克模型的幂级数解涉及三重递推关系而非双重递推关系时，会涌现出何种新的数学结构？
• RQ3 谱中出现多重本征值与隐藏量子数将带来何种物理意义？
• RQ4 广义合流超几何（GCH）函数如何推广现有的特殊函数（如合流超几何函数与Heun函数）？
• RQ5 该GCH函数框架能否扩展至推导重子、反重子及奇特介子的新质量公式？

主要发现

• 引入小夸克质量将双重递推关系转变为三重递推关系，从而需要引入一种新的特殊函数：广义合流超几何（GCH）函数。
• GCH函数为具有轻夸克质量的自旋无关哈密顿量提供了解析解，适用于一阶校正范围。
• 该解揭示了无限组本征值，每组本征值对应无限组本征函数，引入了一类新的“隐藏径向量子数”。
• GCH函数推广了合流超几何函数，并在特定参数极限下（$\mu=1$, $\varepsilon\omega = -q$）退化为双合流Heun函数。
• 新形式化体系可推导出此前未知的质量公式，并为描述强子谱中的超对称性提供了数学基础。
• 该框架可扩展至其他体系，包括 $q-qq$ 重子、$\bar{q}-\bar{q}\bar{q}$ 反重子及 $qq-\bar{q}\bar{q}$ 四夸克态，未来工作有望获得精确质量关系。