[论文解读] Arak Inequalities for Concentration Functions and the Littlewood-Offord Problem

Yulia S. Eliseeva, Friedrich Götze+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 38被引用 6

一句话总结

本文建立了阿拉克（Arak）20世纪80年代关于浓度函数的不等式与利特尔伍德-奥福德问题中逆原则之间的联系，表明独立同分布随机变量加权和中系数的算术结构决定了尾部行为。研究证明，当系数具有结构性（例如，接近广义等差数列）时，浓度函数会迅速衰减，提供了精确的界，改进了近期随机矩阵理论中的结果，并将阿拉克的框架扩展至多变量情形。

ABSTRACT

Let $X,X_1,\ldots,X_n$ be independent identically distributed random variables. In this paper we study the behavior of concentration functions of weighted sums $\sum_{k=1}^{n}a_k X_k$ with respect to the arithmetic structure of coefficients $a_k$ in the context of the Littlewood--Offord problem. Concentration results of this type received renewed interest in connection with distributions of singular values of random matrices. Recently, Tao and Vu proposed an Inverse Principle in the Littlewood-Offord problem. We discuss the relations between the Inverse Principle of Tao and Vu as well as that of Nguyen and Vu and a similar principle formulated for sums of arbitrary independent random variables in the work of Arak from the 1980's.

研究动机与目标

• 阐明阿拉克关于浓度函数的逆原则与塔奥和吴最近在利特尔伍德-奥福德问题中提出的逆原则之间的关系。
• 将阿拉克关于浓度函数的结果扩展至独立同分布随机变量的多变量加权和情形。
• 证明浓度函数的衰减速率在很大程度上取决于系数向量的算术结构。
• 利用广义等差数列（GAPs）及其多变量推广（CGAPs）提供浓度函数的精确界，适用于随机矩阵奇异值分析。

提出的方法

• 使用阿拉克关于独立随机变量和的浓度函数的界，这些界以分布支撑的算术结构为表达形式。
• 应用广义等差数列（GAPs）来近似每个维度 $ j $ 中的系数向量 $ a^{(j)} $，确保至少 $ n - n' $ 个元素与低秩GAP的 $ \tau \rho_n $-距离内。
• 通过投影到坐标子空间来估计多变量浓度函数，并应用定理4，将浓度衰减与无穷可分近似谱测度联系起来。
• 推导出每个GAP的秩 $ r_j $ 和其整数格大小 $ m_j $ 的界，表明 $ r_j \ll |\ln Q_j| + 1 $ 且 $ m_j \leq \max\{ O(q_j^{-1} \rho_n^{-1} (n')^{-1/2}), 1 \} $。
• 构造一个多变量CGAP $ K = \times_{j=1}^d K_j $ 来近似完整系数向量 $ a^* $，满足 $ |\prod_{j=1}^d \mathbf{Z}^{r_j} \cap V_j| \leq \prod_{j=1}^d m_j $，并确保 $ n - dn' $ 个元素接近 $ K $。
• 利用引理1和引理2将和 $ S_a $ 的浓度函数与逼近的无穷可分分布的浓度函数联系起来，从而通过 $ Q_j $ 的对数项实现控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿拉克20世纪80年代关于浓度函数的不等式与塔奥和吴在利特尔伍德-奥福德问题中提出的逆原则之间有何关系？
• RQ2 系数向量 $ a_k $ 的算术结构在多大程度上决定了加权和 $ \sum_{k=1}^n X_k a_k $ 的浓度函数？
• RQ3 能否通过广义等差数列（GAPs）将浓度函数的逆原则从单变量情形推广至多变量情形？
• RQ4 在控制加权和的浓度函数的前提下，近似系数向量的GAP的最优秩和大小边界是什么？
• RQ5 通过阿拉克方法导出的浓度函数界与随机矩阵理论中通过逆原则获得的界相比如何？

主要发现

• 在每个坐标方向 $ j $ 上，系数向量 $ a^{(j)} $ 中至少 $ n - n' $ 个元素与秩为 $ r_j \ll |\ln Q_j| + 1 $ 的低秩广义等差数列 $ K_j $ 的 $ \tau \rho_n $-距离内。
• 每个GAP $ K_j $ 的大小满足 $ m_j \leq \max\{ O(q_j^{-1} \rho_n^{-1} (n')^{-1/2}), 1 \} $，其中 $ q_j $ 与浓度函数 $ Q(F_{a}^{(j)}, \delta_j) $ 相关。
• 多变量系数向量 $ a^* $ 被一个GAP的笛卡尔积 $ K = \times_{j=1}^d K_j $ 良好近似，总格点大小受 $ \prod_{j=1}^d m_j $ 限制，确保 $ n - dn' $ 个元素接近 $ K $。
• 所得多变量CGAP的秩 $ r $ 满足 $ r \leq \max\{1, 2(A+B)/\theta\} $，当 $ n $ 足够大时，表明结构复杂度得到控制。
• 当系数具有结构性时，浓度函数 $ Q(F_a, \tau) $ 迅速衰减，衰减速率由 $ Q_j $ 的对数项决定，如不等式 (24) 和 (25) 所形式化。
• 研究结果提供了浓度函数的精确界，通过引入系数的算术结构，改进了近期随机矩阵理论中关于随机矩阵奇异值的估计。