[论文解读] Arbitrarily High-order Unconditionally Energy Stable Schemes for Gradient Flow Models Using the Scalar Auxiliary Variable Approach

Yuezheng Gong, Jia Zhao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Numerical methods for differential equations参考文献 46被引用 6

一句话总结

本文提出了一种高阶标量辅助变量（HSAV）方法，这是一种新型的任意高阶时间精度格式族，适用于梯度流模型，可无条件保持能量稳定性。通过将SAV方法与高阶时间积分器相结合，该方法实现了最优收敛速率，并在保持无条件能量稳定性和高精度的同时，显著提升了时间步长，适用于多个基准模型。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel family of high-order numerical schemes for the gradient flow models based on the scalar auxiliary variable (SAV) approach, which is named the high-order scalar auxiliary variable (HSAV) method. The newly proposed schemes could be shown to reach arbitrarily high order in time while preserving the energy dissipation law without any restriction on the time step size (i.e., unconditionally energy stable). The HSAV strategy is rather general that it does not depend on the specific expression of the effective free energy, such that it applies to a class of thermodynamically consistent gradient flow models arriving at semi-discrete high-order energy-stable schemes. We then employ the Fourier pseudospectral method for spatial discretization. The fully discrete schemes are also shown to be unconditionally energy stable. Furthermore, we present several numerical experiments on several widely-used gradient flow models, to demonstrate the accuracy, efficiency and unconditionally energy stability of the HSAV schemes. The numerical results verify that the HSAV schemes can reach the expected order of accuracy, and it allows a much larger time step size to reach the same accuracy than the standard SAV schemes.

研究动机与目标

• 开发一种通用框架，用于构建梯度流模型的任意高阶时间精度数值格式，同时保持能量稳定性。
• 通过实现更高阶的时间收敛，克服现有SAV格式通常仅限于二阶精度的局限性。
• 确保无论时间步长大小，均保持无条件能量稳定性，从而支持高效的大时间尺度模拟。
• 将SAV方法的应用范围扩展至广泛的一类热力学一致的梯度流模型，而无需对自由能泛函的具体形式做特定假设。
• 通过在Allen-Cahn、Cahn-Hilliard和MBE方程等广泛应用模型上的数值实验，验证该方法的效率与精度。

提出的方法

• HSAV方法通过标量辅助变量（SAV）方法重构原始梯度流模型，引入辅助变量使新变量下的自由能呈二次型。
• 采用一类线性隐式Runge-Kutta或线性多步法（如Gauss-Legendre或后向差分公式）对重构后的SAV系统进行高阶时间积分。
• 所得到的半离散格式被证明对修正后的自由能泛函具有无条件能量稳定性，确保在离散层面的能量衰减。
• 空间离散化采用傅里叶伪谱方法，该方法在空间上具有谱精度，并可通过FFT实现高效计算。
• 由于时间积分器和SAV重构的结构保持特性，全离散格式继承了无条件能量稳定性。
• 该方法具有通用性，无需对自由能泛函的具体形式做假设，因此可广泛适用于各类梯度流模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将任意高阶时间积分与SAV框架结合，以在梯度流模拟中同时实现高精度与无条件能量稳定性？
• RQ2 所提出的HSAV方法是否在包括Allen-Cahn、Cahn-Hilliard和MBE模型在内的多种梯度流模型中，对大时间步长仍保持能量稳定性？
• RQ3 在相同精度水平和时间步长下，HSAV格式的数值误差与计算成本与标准SAV格式相比如何？
• RQ4 HSAV方法在多大程度上可实现更大的时间步长，同时保持能量耗散并达到预期的收敛速率？
• RQ5 HSAV框架能否推广至所测试示例之外的其他热力学一致模型？

主要发现

• HSAV格式在时间方向上实现了预期的精度阶数，4阶与6阶格式在时间步长细化研究中均表现出最优收敛速率。
• 在相近时间步长下，HSAV格式的数值误差相比标准SAV-CN格式显著减小，降低数个数量级。
• 对于具有坡度选择的MBE模型，6阶HSAV格式在时间步长δt = 0.05时仍能准确捕捉能量耗散，而SAV-CN格式需将δt减小至10⁻⁴才能达到相近精度。
• 4阶HSAV格式在δt = 0.025时的总CPU时间仅为79.45秒，而SAV-CN格式在δt = 0.0001时耗时672.39秒，表明速度提升了5至8倍。
• 使用4阶HSAV格式与δt = 0.025对MBE模型进行数值模拟，生成的形貌演化模式与已知文献结果一致，验证了该方法的物理解释能力。
• HSAV方法在所有测试模型中均保持无条件能量稳定性，能量随时间单调递减，与时间步长无关。