[论文解读] Arbitrary-order energy-preserving exponential integrators for the cubic Schr\"{o}dinger equation

Bin Wang, Xinyuan Wu|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 31被引用 2

一句话总结

本文提出了一类用于 d 维环面上的立方薛定谔方程的任意高阶能量守恒指数积分格式。通过构建精确保持连续系统能量的时间积分格式，该方法确保了长期稳定性和精度，理论分析证实了全局收敛性、非线性稳定性以及解的唯一存在性，并通过数值实验验证了其在性能上优于现有方法。

ABSTRACT

In this paper we derive and analyse new and efficient energy-preserving exponential integrators of arbitrarily high order to solve the cubic Schr\{o}dinger Cauchy problem on a $d$-dimensional torus. Energy preservation is a key feature of the cubic Schr\{o}dinger equation. It is proved that the novel integrators can be of arbitrarily high order which exactly preserve the continuous energy of the original continuous system. The existence and uniqueness, regularity, global convergence, nonlinear stability of the new integrators are studied in detail. One of the new energy-preserving exponential integrators is constructed and two numerical experiments are included. The numerical results illustrate the efficiency of the new integrator in comparison with existing numerical methods in the literature.

研究动机与目标

• 为立方薛定谔方程开发能量守恒的时间积分格式，以精确保持连续系统的能量。
• 在保持能量不变量的同时，实现时间方向上任意高阶的精度。
• 建立严格的理论基础，包括所提出积分格式的存在性、唯一性、正则性、全局收敛性以及非线性稳定性。
• 通过与现有格式的比较，数值实验验证新方法的效率与精度。

提出的方法

• 该方法采用基于新公式化方法的指数积分格式，确保在 d 维环面上的立方薛定谔方程具有精确的能量守恒性。
• 通过连续能量投影技术构造积分格式，使每一时间步均强制满足能量守恒。
• 通过时间方向上的配点方法实现高阶精度，同时对线性部分采用指数时间积分。
• 该格式被设计为保持连续问题的哈密顿结构，从而确保长期稳定性。
• 理论分析依赖于能量估计以及对解的正则性假设，以证明收敛性与稳定性。
• 构建了一种具体实现并进行了数值测试，以验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出指数积分格式，使其对立方薛定谔方程的能量守恒达到任意高阶？
• RQ2 半离散系统解的存在性、唯一性与正则性在何种条件下可得到保证？
• RQ3 积分格式的全局收敛性与非线性稳定性如何依赖于阶数与时间步长？
• RQ4 新积分格式在精度与长期能量保持方面，相较于现有数值方法在多大程度上表现更优？

主要发现

• 所提出的积分格式在精确保持立方薛定谔方程连续能量的同时，实现了任意高阶的精度。
• 在适当的假设下，半离散解的存在性、唯一性与正则性得到了严格证明。
• 全局收敛性与非线性稳定性已得到证明，确保了可靠的长期行为。
• 数值实验结果证实，与文献中现有方法相比，新方法在效率与精度方面表现更优。
• 能量守恒特性在长时间积分过程中得以保持，显示出显著增强的稳定性。