[论文解读] Arborealization II: Geomorphology of Lagrangian ridges

Daniel Álvarez‐Gavela, Yakov Eliashberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文建立了一个h-原理，通过引入称为拉格朗日子脊（Lagrangian ridges）的受控非光滑点，实现了对拉格朗日子流形与拉格朗日分布之间相切关系的完全消除——这些奇点以R²中的角点|q| = |p|为模型，及其高维类比。关键贡献在于提出了一种无需预设条件即可移除所有相切点的拓扑机制，代价是引入这些特定且稳定的奇点。

ABSTRACT

We prove an h-principle without pre-conditions for the elimination of tangencies of a Lagrangian submanifold with respect to a Lagrangian distribution. The main result states that the tangencies can always be completely removed at the cost of allowing the Lagrangian to develop certain non-smooth points, called Lagrangian ridges, modeled on the corner $\{p = |q|\} \subset \mathbb{R}^2$ together with its products and stabilizations.

研究动机与目标

• 解决辛拓扑中拉格朗日子流形与拉格朗日分布之间相切问题。
• 发展一种无需几何或拓扑预设条件的拓扑方法，以消除所有此类相切。
• 表征在消除相切时出现的受控奇点——拉格朗日子脊的性质。
• 建立辛几何中的基础h-原理，允许通过非光滑但定义明确的奇点结构稳定拉格朗日嵌入。

提出的方法

• 利用h-原理框架，对拉格朗日子流形进行形变，以消除其与给定拉格朗日分布的相切。
• 引入拉格朗日子脊作为主要奇点结构，其模型基于R²中的角点{p = |q|}及其乘积和稳定化形式。
• 应用相对h-原理构造，允许在局部对拉格朗日流形进行修改，同时在脊点之外保持其拉格朗日性质。
• 采用稳定化过程，将脊模型推广至更高维及更一般的拉格朗日配置。
• 依赖辛拓扑的灵活性，表明脊的存在不会阻碍期望的拓扑与几何性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过同伦变形完全消除拉格朗日子流形与拉格朗日分布之间的所有相切，即使在无预设条件的情况下？
• RQ2 在无拓扑障碍的情况下消除相切时，会涌现出何种受控奇点？
• RQ3 这些奇点的几何结构如何在高维中建模并稳定化？
• RQ4 是否存在一种系统性的h-原理，可在保持拉格朗日条件的同时实现此类消除？

主要发现

• 拉格朗日子流形与拉格朗日分布之间的相切可通过仅引入拉格朗日子脊作为奇点的同伦变形被完全消除。
• 所引入的奇点精确地以R²中的角点{p = |q|}为模型，其高维类比通过乘积和稳定化得到。
• 该构造在初始配置无任何预设条件的情况下均成立，确立了此类问题的一般性h-原理。
• 所得的拉格朗日子脊是稳定的，且除在受控且清晰理解的奇点集外，均保持拉格朗日条件。