[论文解读] Arc-descent for the perfect loop functor and $p$-adic Deligne--Lusztig spaces

Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文在非阿基米德局部域上的拟射影概形上建立了完美循环函子 $LX$ 的弧下降，证明了 $LX$ 是一个弧层，并将此结果推广至无ramified约化群情形下 $LG \to L(G/B)$ 的 $v$-拓扑满射性。本文引入了一类新的、行为良好的 $p$-进 Deligne–Lusztig 空间 $X_w(b)$，证明其在许多情形下是 ind-可表示的，且其覆盖空间 $\dot{X}_{\dot{w}}(b)$ 是在 $X_w(b)$ 的紧开子集上的 pro-étale 主丛。

ABSTRACT

We prove that the perfect loop functor $LX$ of a quasi-projective scheme $X$ over a local non-archimedean field $k$ satisfies arc-descent, strengthening a result of Drinfeld. Then we prove that for an unramified reductive group $G$, the map $LG ightarrow L(G/B)$ is a $v$-surjection. This gives a mixed characteristic version (for $v$-topology) of an equal characteristic result (in étale topology) of Bouthier--Česnavičius. In the second part of the article, we use the above results to introduce a well-behaved notion of Deligne--Lusztig spaces $X_w(b)$ attached to unramified $p$-adic reductive groups. We show that in various cases these sheaves are ind-representable, thus partially solving a question of Boyarchenko. Finally, we show that the natural covering spaces $\dot X_{\dot w}(b)$ are pro-étale torsors over clopen subsets of $X_w(b)$, and analyze some examples.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{Q}_p$ 上的拟射影概形上建立完美循环函子 $LX$ 的弧下降。
• 证明当 $G$ 为无ramified约化群时，映射 $LG \to L(G/B)$ 是 $v$-满射，将等特征情形的结果推广至混合特征情形。
• 在 $v$-拓扑中定义一类新的、行为良好的 $p$-进 Deligne–Lusztig 空间 $X_w(b)$。
• 证明这些空间在多种情形下是 ind-可表示的，回应 Boyarchenko 的问题。
• 分析覆盖空间 $\dot{X}_{\dot{w}}(b)$ 作为 $X_w(b)$ 的紧开子集上的 pro-étale 主丛。

提出的方法

• 通过分析开浸入与闭浸入及向量丛的行为，利用 [SW20] 中的完美oid技巧，证明当 $R$ 完美时，$W(R)[p^{-1}]$ 上的向量丛在 $R$ 上构成一个弧堆。
• 通过分析开浸入与闭浸入及向量丛的行为，推导出对拟射影 $X$，$LX$ 满足弧下降。
• 证明当 $\operatorname{Spec} A$ 是赋值环谱的不相交并时，所有有限局部自由 $W(A)[p^{-1}]$-模均为自由模。
• 利用 $LG \to L(G/B)$ 的 $v$-拓扑满射性，通过包含几何 Frobenius 图与左乘以 $b$ 的交换图定义 $X_w(b)$。
• 通过分析环路空间及其覆盖空间的结构，建立 $X_w(b)$ 的 ind-可表示性。
• 通过分析 Lang 映射及 $G_0(k)$ 对 $\dot{w}LU$ 的拉回的作用，证明 $\dot{X}_{\dot{w}}(b) \to X_w(b)$ 是一个 pro-étale 主丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 完美循环函子 $LX$ 是否对 $\mathbb{Q}_p$ 上的拟射影概形满足弧下降？
• RQ2 $LG \to L(G/B)$ 是否对无ramified约化群 $G$ 是 $v$-满射？
• RQ3 能否在 $v$-拓扑中构造出一个良好定义的 $p$-进 Deligne–Lusztig 空间 $X_w(b)$？
• RQ4 这些 $X_w(b)$ 在自然情形下是否 ind-可表示，特别是当 $b=1$ 时？
• RQ5 $\dot{X}_{\dot{w}}(b)$ 的覆盖空间是否为 $X_w(b)$ 的紧开子集上的 pro-étale 主丛？

主要发现

• 对任意 $\mathbb{Q}_p$ 上的拟射影概形 $X$，完美循环函子 $LX$ 是一个弧层，强化了 Drinfeld 的 fpqc 结果。
• 当 $A$ 是一个谱为赋值环谱的不相交并的完美环时，所有秩为常数的有限局部自由 $W(A)[p^{-1}]$-模均为自由模。
• $LG \to L(G/B)$ 是无ramified约化群 $G$ 在 $\mathbb{Q}_p$ 上的 $v$-满射，提供了等特征情形下 étale 结果的混合特征类比。
• $p$-进 Deligne–Lusztig 空间 $X_w(b)$ 通过包含旗簇环路空间与几何 Frobenius 的交换图定义，得到一个行为良好的 $v$-层。
• 当 $b=1$ 时，覆盖空间 $\dot{X}_{\dot{w}}(1)$ 同构于 $\operatorname{GL}_3$ 与最长 Weyl 群元素的典型 Deligne–Lusztig 簇上的主丛。
• $\dot{X}_{\dot{w}}(b)$ 的覆盖空间是 $X_w(b)$ 的紧开子集上的 pro-étale 主丛，其主丛结构源于 Lang 映射与 $G_0(k)$ 的作用。