[论文解读] Arc-like continua, Julia sets of entire functions, and Eremenko's Conjecture

Lasse Rempe|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用 24

一句话总结

本文研究了全纯函数中 Julia 集的拓扑结构，证明在适度几何条件下，当每个 Julia 集的连通分支通过添加无穷远点进行紧化后，其结果为具有零跨度的连续统，且为弧状。本文构造了一个这样的函数，其 Julia 集实现了所有具有端点的弧状连续统——如 sin(1/x)-曲线、伪弧和水桶柄——从而在该动力系统设定下展示了这些拓扑结构的普遍性。

ABSTRACT

A hyperbolic transcendental entire function with connected Fatou set is said to be "of disjoint type". It is known that a disjoint-type function provides a model for the dynamics near infinity of all maps in the same parameter space; hence a good understanding of these functions has implications in wider generality. Our goal is to study the topological properties of the Julia sets of entire functions of disjoint type. In particular, we give a detailed description of the topology of their connected components. More precisely, consider a "Julia continuum" C of such a function, i.e. the closure in the Riemann sphere of a component of the Julia set. We show that infinity is a terminal point of C, and that C has span zero in the sense of Lelek; under a mild geometric assumption on the function C is arc-like. (Whether every span zero continuum is also arc-like was a famous question in continuum theory, only recently resolved in the negative.) Conversely, we construct a single disjoint-type entire function with the remarkable property that each arc-like continuum with at least one terminal point is realised as a Julia continuum. The class of arc-like continua with terminal points is uncountable. It includes, in particular, the sin(1/x)-curve, the Knaster buckethandle and the pseudo-arc, so these can all occur as Julia continua of a disjoint-type entire function. We give similar descriptions of the possible topology of Julia continua that contain periodic points or points with bounded orbits, and answer a question of Barański and Karpińska by showing that Julia continua need not contain points that are accessible from the Fatou set. Furthermore, we construct an entire function whose Julia set has connected components on which the iterates tend to infinity pointwise, but not uniformly. This is related to a famous conjecture of Eremenko concerning escaping sets of entire functions.

研究动机与目标

• 刻画不相交型整函数 Julia 集连通分支的拓扑结构。
• 确定通过添加无穷远点紧化每个 Julia 分支后是否得到零跨度连续统或弧状连续统。
• 构造一个单一的不相交型整函数，使其 Julia 集包含每个具有端点的弧状连续统作为分支。
• 解决关于 Julia 集点从 Fatou 集可访问性以及逃逸至无穷远的统一性问题。
• 提供一个反例，说明在某些连通 Julia 分支上逃逸行为并非一致，与 Eremenko 猜想相关。

提出的方法

• 使用共形动力系统与双曲几何分析在黎曼球面（通过添加无穷远点紧化）上不相交型整函数的动力行为。
• 应用 Lelek 的零跨度连续统理论及连续统理论的最新成果（例如 Hoehn 对 Lelek 猜想的反例）对 Julia 连续统进行分类。
• 通过递归构造带域与黎曼曲面结构，使用分段线性逼近与受控边细分，确保有界几何。
• 通过类似 Schottky 的粘合过程构造一个单一整函数，确保所有期望的弧状连续统均作为 Julia 集的分支出现。
• 通过归纳方式修改构造，控制边的 τ-长度，并确保在万有覆盖中的测地线始终与边界保持一致距离。
• 利用有界装饰条件与引理 8，确保当函数满足特定几何约束时，所有 Julia 连续统均为伪弧。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些拓扑类型的连续统可能作为不相交型整函数 Julia 集连通分支出现？
• RQ2 通过添加无穷远点紧化 Julia 分支后，是否总是得到弧状连续统或零跨度连续统？
• RQ3 能否存在一个不相交型整函数，使其 Julia 分支包含不可数多个不同的弧状连续统？
• RQ4 所有逃逸至无穷远的 Julia 集点是否都位于连接它们与无穷远点的弧上，且这种性质在各分支上是否一致成立？
• RQ5 是否存在一个不相交型整函数，其迭代在某些连通 Julia 分支上逐点趋于无穷远，但不一致趋于无穷远？

主要发现

• 对于不相交型整函数 Julia 集的任意连通分支 $ C $，其紧化 $ \hat{C} = C \cup \{\infty\} $ 在 Lelek 意义下具有零跨度。
• 在适度几何假设（有界装饰）下，$ \hat{C} $ 为弧状，且 $ \infty $ 是 $ \hat{C} $ 的端点。
• 存在一个单一的不相交型整函数 $ f $，使得每个具有至少一个端点的弧状连续统（包括 $ \sin(1/x) $-曲线、伪弧和水桶柄）均作为 $ \hat{J}(f) $ 的连通分支出现。
• 此类连续统的类是不可数的，且该构造在一个函数内实现了全部。
• 本文构造了一个不相交型整函数，其迭代在某些连通 Julia 分支上逐点趋于无穷远，但不一致趋于无穷远，从而回答了 Barański 和 Karpińska 提出的问题。
• Julia 连续统不一定要包含从 Fatou 集可访问的点，从而以否定方式解决了 Barański 和 Karpińska 提出的问题。