[论文解读] Arc spaces and chiral symplectic cores

Tomoyuki Arakawa, Anne Moreau|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 10

一句话总结

本文在顶点泊松簇中引入了手征对称的辛核心，作为泊松几何中辛叶的对手。证明了任意拟李代数顶点代数都是其关联簇的约化弧空间的量子化，并表明Slodowy截面的弧空间的坐标环在其顶点泊松中心上是自由的，且该中心被识别为对偶李代数的弧空间的不变环。这解决了在临界水平下，仿射W代数的Feigin-Frenkel中心同构证明中的一个缺口。

ABSTRACT

We introduce the notion of chiral symplectic cores in a vertex Poisson variety, which can be viewed as analogs of symplectic leaves in Poisson varieties. As an application we show that any quasi-lisse vertex algebra is a quantization of the arc space of its associated variety, in the sense that its reduced singular support coincides with the reduced arc space of its associated variety. We also show that the coordinate ring of the arc space of Slodowy slices is free over its vertex Poisson center, and the latter coincides with the vertex Poisson center of the coordinate ring of the arc space of the dual of the corresponding simple Lie algebra.

研究动机与目标

• 为顶点泊松簇发展泊松几何中辛叶的手征类比。
• 建立拟李代数顶点代数对其关联簇的约化弧空间的量子化性质。
• 证明Slodowy截面的弧空间的坐标环在其顶点泊松中心上是自由的。
• 将临界水平下仿射W代数的中心与Feigin-Frenkel中心相等化。
• 完成文献中此前不完整的W代数中心与Feigin-Frenkel中心之间同构的证明。

提出的方法

• 在顶点泊松概形中引入手征对称辛核心的概念，作为最细的代数分层，使得手征哈密顿向量场与其相切。
• 利用弧空间及其诱导态射的理论，分析Slodowy截面及其约化的几何结构。
• 对喷射概形 $J_n\mathscr{S}_f$ 和 $J_n(\mathfrak{g}/\!/G)$ 应用平坦性与正规性论证，将函数从基提升至弧空间。
• 利用 $J_n\mathscr{S}_f$ 和 $J_n(\mathfrak{g}/\!/G)$ 对所有 $n$ 都是仿射空间的事实，通过引理11.3实现有理映射的提升。
• 利用具有有理奇点的完备交集的结果，推导出 $\mathbb{C}[J_\infty\mathscr{S}_f]$ 关于其顶点泊松中心的自由性。
• 应用量子化Drinfeld-Sokolov约化，并比较其伴随格层，将 $\operatorname{gr}Z(\mathcal{W}^{cri}(\mathfrak{g},f))$ 与Slodowy截面弧空间的中心联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 泊松几何中辛叶的概念如何推广到顶点泊松簇的手征设定中？
• RQ2 在何种条件下，顶点代数会对其关联簇的弧空间进行量子化？
• RQ3 Slodowy截面的弧空间的坐标环是否在其顶点泊松中心上是自由的？
• RQ4 临界水平下仿射W代数的中心是否与Feigin-Frenkel中心一致？
• RQ5 能否严格建立W代数中心与Feigin-Frenkel中心之间的同构？

主要发现

• 任意拟李代数顶点代数 $V$ 满足 $\operatorname{Specm}(\operatorname{gr}V) \cong J_\infty X_V$ 作为拓扑空间，表明 $V$ 是其关联簇的约化弧空间的量子化。
• 对于拟李代数顶点代数 $V$，$J_\infty X_V$ 的每个不可约分支都是某个手征对称辛核心的闭包。
• 映射 $J_\infty\psi_f: J_\infty\mathscr{S}_f \to J_\infty(\mathfrak{g}^*/\!/G)$ 的纤维是不可约且约化的，使其成为一个行为良好的手征泊松态射。
• 顶点泊松中心 $\mathbb{C}[J_\infty\mathscr{S}_f]$ 同构于 $\mathbb{C}[J_\infty\mathfrak{g}]^{J_\infty G}$，即在弧群作用下的不变环。
• 通过 $\mathscr{S}_f \cap \mathcal{N}$ 的几何性质，已确立 $\mathbb{C}[J_\infty\mathscr{S}_f]$ 关于其顶点泊松中心的自由性。
• 临界水平下仿射W代数 $\mathcal{W}^{cri}(\mathfrak{g},f)$ 的中心同构于Feigin-Frenkel中心 $\mathfrak{z}(\widehat{\mathfrak{g}})$，从而完成了此前不完整的证明。