[论文解读] Archimedean Choice Functions: an Axiomatic Foundation for Imprecise Decision Making

Jasper De Bock|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2020

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文通过使用阿基米德选择函数，为不精确不确定性下的决策提供了公理化基础，对两种关键决策规则——E-可容许性与极大性——进行了刻画。结果表明，这些规则由选择函数的一组必要且充分条件唯一确定，其核心在于一致下概率的表示形式。

ABSTRACT

If uncertainty is modelled by a probability measure, decisions are typically made by choosing the option with the highest expected utility. If an imprecise probability model is used instead, this decision rule can be generalised in several ways. We here focus on two such generalisations that apply to sets of probability measures: E-admissibility and maximality. Both of them can be regarded as special instances of so-called choice functions, a very general mathematical framework for decision making. For each of these two decision rules, we provide a set of necessary and sufficient conditions on choice functions that uniquely characterises this rule, thereby providing an axiomatic foundation for imprecise decision making with sets of probabilities. A representation theorem for Archimedean choice functions in terms of coherent lower previsions lies at the basis of both results.

研究动机与目标

• 建立不精确概率下决策的系统性、公理化基础，超越临时或实用性的选择。
• 解决当不确定性由概率测度集合而非单一概率测度建模时，选择合适决策规则的挑战。
• 在选择函数的统一框架下，统一并形式化不精确概率中两个重要决策规则——E-可容许性与极大性。
• 证明阿基米德选择函数（具有平移不变性、一致性及K_A条件）为这些决策规则提供了自然基础。
• 表明这些公理的组合唯一刻画了E-可容许性与极大性，并以一致下概率的形式给出其表示。

提出的方法

• 本文使用选择函数作为决策的统一数学框架，其中选择函数C将有限选项集映射到所选选项的子集。
• 引入阿基米德选择函数，其由三个关键性质定义：平移不变性、可欲选项集集合的一致性，以及K_A条件。
• K_A条件源自可欲性原则：若选项u严格可欲，则存在ε>0使得u−ε亦可欲，该原则被适配至有限选项集。
• 该框架通过表示定理将选择函数与一致下概率联系起来，表明每个阿基米德选择函数均对应一个一致下概率。
• 通过识别精确的公理条件，将E-可容许性与极大性表征为阿基米德选择函数的特定实例，从而唯一确定每条规则。
• 证明策略基于如下事实：当概率测度集合为单点集时，E-可容许性与极大性才完全一致，从而将期望效用最大化表征为特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不精确概率模型中，哪组公理能唯一刻画E-可容许性作为决策规则？
• RQ2 在概率测度集合的语境下，哪组公理条件能唯一刻画极大性？
• RQ3 阿基米德选择函数如何作为不精确决策中不同决策规则的统一框架？
• RQ4 一致下概率在表示阿基米德选择函数中起什么作用？该表示如何支撑E-可容许性与极大性的基础？
• RQ5 在何种条件下E-可容许性与极大性会一致？这对底层概率测度集合意味着什么？

主要发现

• 当且仅当选择函数满足阿基米德性公理（包括K_A条件）且可由一致下概率表示时，该选择函数对应于E-可容许性。
• 当且仅当选择函数满足相同的阿基米德公理，且K_A条件确保极大选项的必要结构时，该选择函数对应于极大性。
• E-可容许性与极大性唯一一致的情形仅出现在底层概率测度集合为单点集时，意味着两种规则均退化为期望效用最大化。
• 表示定理表明，每个阿基米德选择函数均可唯一由一致下概率表示，从而在选择函数与不精确概率模型之间建立了基础性联系。
• 所提出的公理体系对刻画E-可容许性与极大性而言，既必要又充分，为这些决策规则提供了完整且系统性的基础。
• 本研究形式化地刻画了期望效用最大化作为阿基米德选择函数的特例，当线性预概率集合为单点集时成立。