[论文解读] Are all cofibrantly generated model categories combinatorial?

Jir̆ı́ Rosický|arXiv (Cornell University)|May 5, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明了Vopěnka原理在逻辑上等价于：每个广义意义上的可生成模型范畴（cofibrantly generated model category）都与一个组合模型范畴（combinatorial model category）Quillen等价。通过在有界但非局部可表示的范畴上构造平凡模型结构，作者证明了此类Quillen等价性的存在性蕴含Vopěnka原理，从而表明该公理由Raptis原始结果的集合论必要性。

ABSTRACT

G. Raptis has recently proved that, assuming Vopěnka's principle, every cofibrantly generated model category is Quillen equivalent to a combinatorial one. His result remains true for a slightly more general concept of a cofibrantly generated model category. We show that Vopěnka's principle is equivalent to this claim. The set-theoretical status of the original Raptis' result is open.

研究动机与目标

• 确定Vopěnka原理是否为Raptis结果的必要条件，即每个可生成模型范畴都与一个组合模型范畴Quillen等价。
• 通过分析可生成模型范畴与组合模型范畴之间的关系，研究Raptis定理的集合论地位。
• 探讨在不假设Vopěnka原理的前提下，可生成模型范畴与组合模型范畴之间的等价性是否仍然成立。
• 建立存在一个与组合模型范畴Quillen等价的模型范畴，其存在性蕴含Vopěnka原理，使用反例范畴作为依据。

提出的方法

• 在非局部可表示的有界、完备范畴K上构造一个平凡模型结构，使用由序数索引的刚性图全子范畴A。
• 利用典范函子E_A: K → Set^{A^op}分析稠密性与表示性，证明A是稠密的，但K不是局部可表示的。
• 证明弱因式分解系统(Iso, K)在广义意义下是可生成的，但在标准意义下不是，原因在于存在非可表示对象。
• 假设平凡模型范畴K与组合模型范畴M之间存在Quillen等价，通过余极限保持性与因式分解性质导出矛盾。
• 利用存在一个正则基数λ₀，使得替换函子R在M中保持λ₀-过滤余极限，当id₁通过余极限余锥的某个分量因式分解时，导致矛盾。
• 应用[8]和[7]中的结果，表明若K是M中保持余极限的函子的全像，则K必须是局部可表示的——与假设矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 Vopěnka原理是否为每个可生成模型范畴都与一个组合模型范畴Quillen等价所必需的？
• RQ2 一个非局部可表示的可生成模型范畴是否仍可能与一个组合模型范畴Quillen等价？
• RQ3 基于可生成闭类的广义可生成弱因式分解系统定义，是否能比标准定义得出更强的结果？
• RQ4 在有界但非局部可表示的范畴上的平凡模型结构，是否在广义意义下是可生成的？
• RQ5 若一个平凡模型范畴存在一个与之Quillen等价的组合模型结构，是否意味着该范畴必须是局部可表示的？

主要发现

• Vopěnka原理在逻辑上等价于：每个广义意义下的可生成模型范畴都与一个组合模型范畴Quillen等价。
• 在非局部可表示的有界、完备范畴K上的平凡模型结构提供了一个反例：(K, Iso)在广义意义下是可生成的，但在标准意义下不是。
• 若K与一个组合模型范畴M之间存在Quillen等价，则K必须是局部可表示的，这与在否定Vopěnka原理时构造K的假设矛盾。
• 该证明表明，若此类Quillen等价存在，则终端对象1上的恒等态射将通过余极限余锥的某个分量因式分解，与1的非可表示性矛盾。
• 在假设存在一个紧致基数的真类的前提下，平凡模型范畴K具有组合模型结构当且仅当它是局部可表示的。
• 因此，在无Vopěnka原理的前提下，存在可生成模型范畴，其没有与之Quillen等价的组合模型范畴。