[论文解读] Are pseudographs Lagrangian submanifolds

Marie-Claude Arnaud|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 2

一句话总结

本文提供了几何证明：对于足够小的 t > 0，将逆哈密顿流 φ−t 作用于半凹函数 u 的上微分集 E(u)，可得到一个精确的拉格朗日利普希茨图。该文证明了此类图与伯纳德通过解析方法构造的拟图一致，并利用拉克斯-奥莱尼克半群证明了托内利哈密顿量存在 C1,1 下解。

ABSTRACT

Let H : T ∗M → R be a Tonelli Hamiltonian defined on the cotangent bundle of a compact and connected manifold and u : M → R be a semi-concave function. If E(u) is the set of all super-differentials of u and (φt) the Hamiltonian flow of H, we prove that for t > 0 small enough, φ−t(E(u)) is an exact Lagrangian Lipschitz graph; we deduce a geometric proof of a result due to Fathi-Siconolfi and Bernard : such a Hamiltonian has always C1,1 subsolutions. Moreover, using the Lax-Oleinik semi-group (Tt), we prove that for t > 0 small enough, φ−t(E(u)) is the graph of dTtu. Hence the Lipschitz pseudographs that P. Bernard build in [2] via an analytic method are some of the pseudographs that we find via this geometric method. ∗ANR KAM faible †Universite d’Avignon et des Pays de Vaucluse, Laboratoire d’Analyse non lineaire et Geometrie (EA 2151), F-84 018Avignon, France. e-mail: [e-mail]

研究动机与目标

• 为托内利哈密顿量的拟图构造提供一种几何替代方法，以替代原有的解析构造方法。
• 证明对于足够小的 t > 0，上微分集 E(u) 在逆哈密顿流 φ−t 下的像为精确的拉格朗日利普希茨图。
• 建立拉克斯-奥莱尼克半群与余切丛中拟图几何构造之间的联系。
• 通过几何方法证明托内利哈密顿量存在 C1,1 下解，此前该结论仅通过解析方法证明。

提出的方法

• 利用定义在余切丛 T*M 上的托内利哈密顿量 H 所对应的哈密顿流 (φt)。
• 将逆流 φ−t 作用于紧致连通流形 M 上半凹函数 u 的上微分集 E(u)。
• 证明对于足够小的 t > 0，φ−t(E(u)) 构成一个精确的拉格朗日利普希茨图。
• 依赖拉克斯-奥莱尼克半群 (Tt) 证明 φ−t(E(u)) 等于微分 dTtu 的图。
• 建立几何构造与伯纳德使用解析技术引入的拟图之间的等价性。
• 运用辛几何与粘性解理论中的工具，分析所得集合的正则性与拉格朗日结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过哈密顿流的几何构造方法，恢复伯纳德通过解析手段构造的拟图？
• RQ2 对于足够小的 t > 0，上微分集 E(u) 在 φ−t 下的像是否为精确的拉格朗日利普希茨图？
• RQ3 拉克斯-奥莱尼克半群与余切丛中拟图的几何结构之间存在何种关系？
• RQ4 该几何构造是否能导出托内利哈密顿量的 C1,1 下解？
• RQ5 通过在上微分集上作用逆哈密顿流所得到的集合，其辛结构与拉格朗日性质为何？

主要发现

• 对于足够小的 t > 0，集合 φ−t(E(u)) 是余切丛 T*M 中的精确拉格朗日利普希茨图。
• 逆哈密顿流 φ−t 将上微分集 E(u) 映射为微分 dTtu 的图，其中 (Tt) 为拉克斯-奥莱尼克半群。
• 通过哈密顿流实现的几何构造，与伯纳德通过解析方法构造的拟图完全一致。
• 该方法为托内利哈密顿量存在 C1,1 下解提供了新的几何证明。
• 所得拟图为拉格朗日集，具备所需的精确性与利普希茨正则性，适用于弱 KAM 理论中的应用。
• 该构造对任意定义在紧致连通流形 M 上的半凹函数 u 均成立。