[论文解读] Are the beginning and ending phases of epidemics provided by next generation matrices? -- Revisiting drug sensitive and resistant tuberculosis model

Hyun Mo Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文重新探討了一個針對藥物敏感與抗藥性結核病傳播的模型，以示範下一代矩陣可同時預測初始疫情強度（透過總繁殖數）與最終流行規模（透過易感者比例的漸近分數）。透過以不同方式建構下一代矩陣，本研究顯示特徵方程係數之和可得出總繁殖數，而譜半徑則與最終易感者比例相關——進而提供一個統一的框架，用以建模疫情的起始與終結階段。

ABSTRACT

In epidemiological modelings, the spectral radius of the next generation matrix evaluated at the trivial equilibrium was considered as the basic reproduction number. Also, the global stability of the trivial equilibrium point was determined by the left eigenvector associated to that next generation matrix. More recently, the fraction of susceptible individuals was also obtained from the next generation matrix. By revisiting drug sensitive and resistant tuberculosis model, the gross reproduction number and the fraction of susceptible individuals are calculated. Hence, the next generation matrices shed light to the evolution of the dynamics: the beginning of the epidemics via the reproduction number and the approaching to the epidemics level via the asymptotic fraction of susceptible individuals.

研究动机与目标

• 探討下一代矩陣是否能在單一框架中描述流行病的起始與終結階段。
• 解決具多重傳播路徑之模型中，基本再生數（R₀）與最終易感者比例（s*）之間的差異。
• 示範不同方式建構的下一代矩陣會產生不同的臨界值：一個用於疫情啟動（總繁殖數），另一個用於疫情終止（漸近易感者比例）。
• 利用具複雜傳播動態的藥物敏感與抗藥性結核病傳播模型，驗證理論框架。
• 釐清特徵方程係數與譜半徑在決定流行病臨界值中的角色，特別是在存在多重傳播途徑時。

提出的方法

• 重新檢視先前以數值方式分析過的抗藥性結核病模型，其狀態變數包含易感者（s）、潛伏者（e₁, e₂）與感染者（i₁, i₂）。
• 建構兩種不同的下一代矩陣：一種強調傳播路徑（FV⁻¹），另一種用於穩定性分析（透過譜半徑）。
• 應用下一代矩陣特徵方程係數之和的方法，推導出總繁殖數（Rg = R₀ + Ra）。
• 利用下一代矩陣的譜半徑，判斷疾病消除均衡的全域穩定性，並與最終易感者比例的倒數相關聯。
• 比較不同矩陣建構方式的結果，顯示當存在多重傳播路徑時，Rg ≠ 1/s*，此與單一路徑傳播的SIR模型情形不同。
• 透過與具垂直傳播之SEIR模型及登革熱模型的已知結果比較，驗證發現：僅在單一路徑傳播時，s* = 1/R₀ 才成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 下一代矩陣能否同時預測疫情的初始強度與最終規模？
• RQ2 不同方式建構的下一代矩陣如何影響對流行病臨界值的詮釋？
• RQ3 為何在具多重傳播路徑的模型中，s* = 1/R₀ 的關係會失效？
• RQ4 與譜半徑相比，下一代矩陣特徵方程係數之和在決定流行病臨界值中扮演何種角色？
• RQ5 在何種條件下，總繁殖數 Rg 會等於最終易感者比例 s*？

主要发现

• 下一代矩陣特徵方程係數之和可得出總繁殖數 Rg，此數值反映疫情的初始爆發潛力。
• 下一代矩陣的譜半徑對應於易感者漸近比例的倒數 s*⁻¹，因而可預測最終流行規模。
• 在具多重傳播路徑的模型中（例如藥物敏感與抗藥性結核病），Rg ≠ 1/s*，導致 s* = 1/R₀ 關係不成立。
• 當僅存在單一路徑傳播時，標準關係 s* = 1/R₀ 仍成立，確認與古典SIR模型的一致性。
• 不同矩陣建構方式會導致不同臨界值：一個用於疫情起始（透過係數之和），另一個用於疫情終止（透過譜半徑）。
• 係數之和方法提供了一種統一方法，可用以推導複雜模型中兩種流行病臨界值，特別是在具多重感染途徑的情境下。