[论文解读] Area law for the entanglement entropy of the free Fermi gas at nonzero temperature

Hajo Leschke, Alexander V. Sobolev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Quantum many-body systems参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文首次为无限多维空间中非零温度下的自由费米气体的纠缠熵（EE）建立了严格的渐近公式。结果表明，热EE的主导大尺度项是热熵密度有限尺寸修正的两倍，该修正对应于边界表面的热熵，且在零温度极限下退化为 ln(1/T) 奇异性，从而恢复了面积律标度的已知对数修正。

ABSTRACT

The leading asymptotic large-scale behavior of the spatially bipartite entanglement entropy (EE) of the free Fermi gas infinitely extended in multidimensionsal Euclidean space at zero absolute temperature, T=0, is by now well understood. Here, we announce and discuss the first rigorous results for the corresponding EE of thermal equilibrium states at T>0. The leading large-scale term of this thermal EE turns out to be twice the leading finite-size correction to the infinite-volume thermal entropy (density). Not surprisingly, this correction is just the thermal entropy on the boundary surface of the bipartition. However, it is given by a rather complicated analytical expression derived from semiclassical functional calculus and differs, at least at high temperature, from simpler expressions previously obtained by arguments based on conformal field theory. In the zero-temperature limit, the leading large-scale term of the thermal EE considerably simplifies and displays a ln(1/T)-singularity which one may identify with the known logarithmic correction at T=0 to the so-called area-law scaling. Our results extend to the whole one-parameter family of (quantum) R\'enyi entropies.

研究动机与目标

• 严格表征非零温度下自由费米气体的纠缠熵的大尺度渐近行为。
• 阐明热纠缠熵与热熵密度有限尺寸修正之间的关系。
• 将纠缠熵的面积律推广至有限温度，并推广至整个 R\'enyi 熵族。
• 解决高温下半经典结果与早期基于共形场论近似之间的差异。

提出的方法

• 应用半经典函数演算，推导热平衡态下纠缠熵的主导阶渐近行为。
• 通过谱投影和费米-狄拉克分布分析约化密度矩阵的迹。
• 将纠缠熵的主导大尺度项推导为热熵密度无限体积下有限尺寸修正的两倍。
• 利用约化密度矩阵的迹类性质，确保渐近展开的收敛性与有效性。
• 通过约化密度矩阵上的函数演算，将结果推广至整个单参数 R\'enyi 熵族。
• 在零温度极限下进行渐近分析，以恢复面积律已知的对数修正。

实验结果

研究问题

• RQ1 非零温度下自由费米气体的纠缠熵的主导大尺度渐近行为是什么？
• RQ2 热纠缠熵与热熵密度有限尺寸修正之间有何关系？
• RQ3 为何热EE的高温行为与基于共形场论的预测不同？
• RQ4 热纠缠熵的零温度极限是什么？它与面积律中的对数修正有何关联？
• RQ5 结果如何推广至整个 R\'enyi 熵族？

主要发现

• 热纠缠熵的主导大尺度项是无限体积热熵密度有限尺寸修正的两倍。
• 该修正对应于二分划边界表面局域化的热熵，通过半经典函数演算导出。
• 在高温下，热EE的表达式与更简单的基于共形场论的近似不同。
• 在零温度极限下，热EE表现出 ln(1/T) 奇异性，与面积律已知的对数修正一致。
• 结果已推广至所有 R\'enyi 熵，证实了整个熵度量族的一致性。
• 推导建立了有限温度下量子多体系统中纠缠熵与边界热效应之间的严格联系。