[论文解读] Area of intrinsic graphs and coarea formula in Carnot Groups

Antoine Julia, Sebastiano Nicolussi Golo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

本文建立了Carnot群中$C^{1}_{H}$內蕴圖像的面積公式，以及對$C^{1}_{H}$子流形進行截面切割的Coarea公式。文章引入了一個依賴於齊次切空間的連續面積因子，並證明在具有旋轉對稱距離的Heisenberg群中，Coarea因子與水平微分與其轉置複合後的行列式的平方根成正比，從而實現了對可度量集的精確測度論分析。

ABSTRACT

We consider submanifolds of sub-Riemannian Carnot groups with intrinsic $C^1$ regularity ($C^1_H$). Our first main result is an area formula for $C^1_H$ intrinsic graphs; as an application, we deduce density properties for Hausdorff measures on rectifiable sets. Our second main result is a coarea formula for slicing $C^1_H$ submanifolds into level sets of a $C^1_H$ function.

研究动机与目标

• 發展子黎曼Carnot群中具有內蕴$C^{1}$正則性的子流形的幾何積分理論。
• 推導出由$C^{1}_{ ext{H}}$映射定義的內蕴圖像的面積公式，從而實現對可度量集上Hausdorff測度的計算。
• 建立對$C^{1}_{H}$子流形以$C^{1}_{H}$函數的等值集進行截面切割的Coarea公式。
• 在具有旋轉對稱距離的Heisenberg群中，描述Coarea因子的性質，證明其與$\left(\det(L \circ L^T)\right)^{1/2}$成正比。

提出的方法

• 面積公式通過基於Federer密度的測度微分定理推導，面積因子透過內蕴圖像的齊次切空間隱式定義。
• 面積公式的證明依賴於$C^{1}_{H}$映射的隱函數定理，表明$C^{1}_{H}$子流形在局部上可視為在補齊次子群上的內蕴圖像。
• 透過以$C^{1}_{H}$函數對$C^{1}_{H}$子流形進行截面切割，並分析等值集的測度論行為，建立Coarea公式。
• 在Heisenberg群中，利用歐幾里得Coarea公式與旋轉不變性，明確計算出Coarea因子，將球面Hausdorff測度與微分的行列式聯繫起來。
• 作者運用內蕴Lipschitz連續性與Pansu可微性的理論，確保幾何對象的正則性與一致性。
• Coarea因子中的常數透過球面測度的歸一化與垂直子群上歐幾里得Hausdorff測度的比較來確定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在Carnot群中，使用類似於歐幾里得空間中經典面積公式的公式，計算內蕴圖像的面積？
• RQ2 在Carnot群中，以$C^{1}_{H}$函數對$C^{1}_{H}$子流形進行截面切割時，Coarea因子的精確形式為何？
• RQ3 在Heisenberg群中，Coarea因子在何種條件下與微分複合的行列式的平方根成正比？
• RQ4 面積公式中的面積因子能否以內蕴圖像生成映射的導數明確表示？
• RQ5 面積與Coarea公式在多大程度上依賴於群結構中齊次子群分解的選擇？

主要发现

• 對於$C^{1}_{H}$內蕴圖像，面積公式將圖像的$d$維Hausdorff測度表達為在基域上的積分，其權重為僅依賴於齊次切空間的連續面積因子。
• 面積因子定義良好且連續，其在某一點的值僅取決於該點內蕴幾何的切空間性質。
• 在具有旋轉對稱距離的Heisenberg群$\mathbb{H}^n$中，以$C^{1}_{H}$函數進行截面切割時，Coarea因子與$\left(\det(L \circ L^T)\right)^{1/2}$成正比，其中$L$為水平微分在子流形切空間上的限制。
• 當$\mathbb{H}^n$中$\mathbb{G}' = \mathbb{R}$時，可度量集的球面測度與Hausdorff測度為常數倍關係，常數$C \in [1, 2^{2n+1}]$。
• 由於旋轉不變性，Coarea因子在$\mathbb{H}^n$中所有固定拓撲維數的垂直子群上為常數，進而簡化了對稱設定下的公式。
• Coarea公式中的常數明確與垂直子群上球面測度的歸一化因子相關，從而將子黎曼與歐幾里得測度理論聯繫起來。