[论文解读] Area-stationary surfaces in the Heisenberg group H^1

Manuel Ritoré, César Rosales|ArXiv.org|Dec 23, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 26

一句话总结

本文通过定义面积的一阶变分来引入平均曲率，为海森堡群 ℍ¹ 中的面积平稳曲面建立了变分框架。证明了具有非空奇点集的 $C^2$ 体积保持面积平稳曲面与由连接两个极点的常曲率测地线构成的旋转对称球面合同，从而在 $C^2$ 正则性假设下解决了等周问题。

ABSTRACT

We use variational arguments to introduce a notion of mean curvature for surfaces in the Heisenberg group H^1 endowed with its Carnot-Carathéodory distance. By analyzing the first variation of area, we characterize C^2 stationary surfaces for the area as those with mean curvature zero (or constant if a volume-preserving condition is assumed) and such that the characteristic curves meet orthogonally the singular curves. Moreover, a Minkowski type formula relating the area, the mean curvature, and the volume is obtained for volume-preserving area-stationary surfaces enclosing a given region. As a consequence of the characterization of area-stationary surfaces, we refine previous Bernstein type theorems in order to describe entire area-stationary graphs over the xy-plane in H^1. A calibration argument shows that these graphs are globally area-minimizing. Finally, by using the known description of the singular set, the characterization of area-stationary surfaces, and the ruling property of constant mean curvature surfaces, we prove our main results where we classify volume-preserving area-stationary surfaces in H^1 with non-empty singular set. In particular, we deduce the following counterpart to Alexandrov uniqueness theorem in Euclidean space: any compact, connected, C^2 surface in H^1 area-stationary under a volume constraint must be congruent with a rotationally symmetric sphere obtained as the union of all the geodesics of the same curvature joining two points. As a consequence, we solve the isoperimetric problem in H^1 assuming C^2 smoothness of the solutions.

研究动机与目标

• 通过变分方法在子黎曼海森堡群 ℍ¹ 的曲面上定义并分析平均曲率。
• 将 $C^2$ 面积平稳曲面表征为平均曲率为零（或在体积约束下为常数）且特征曲线与奇点曲线正交相交的曲面。
• 在非空奇点集条件下对 ℍ¹ 中体积保持面积平稳曲面进行分类，从而在 $C^2$ 正则性下解决等周问题。
• 通过证明在整个 $xy$-平面上的面积平稳图是全局面积最小化曲面，将伯恩斯坦型定理推广。
• 证明一个类闵可夫斯基公式，将面积、平均曲率与体积关联起来，适用于体积保持面积平稳曲面。

提出的方法

• 将 ℍ¹ 中的平均曲率定义为曲面上水平单位法向量场 $\nu_H$ 的黎曼散度。
• 推导面积的一阶变分公式（引理 4.3），表明面积平稳曲面具有零平均曲率（或在体积约束下为常数平均曲率）。
• 使用标定法论证，证明在整个 $xy$-平面上的面积平稳图是全局面积最小化曲面。
• 结合 [CHMY] 中奇点集的表征方法与常平均曲率曲面的母线性质，对具有非空奇点集的面积平稳曲面进行分类。
• 应用一个类闵可夫斯基型积分公式（公式 4.10），将体积保持变分下的面积、平均曲率与所围体积关联起来。
• 使用类亚历山大洛夫唯一性论证，表明在体积约束下，紧致、连通、$C^2$ 的面积平稳曲面必与旋转对称球面 $\mathbb{S}_\lambda$ 合同。

实验结果

研究问题

• RQ1 在体积保持变分下，$C^2$ 面积平稳曲面在海森堡群 ℍ¹ 中有何特征？
• RQ2 如何在 ℍ¹ 的子黎曼设定中，通过变分原理一致地定义平均曲率？
• RQ3 具有非空奇点集的体积保持面积平稳曲面在 ℍ¹ 中的结构是怎样的？
• RQ4 在整个 $xy$-平面上的面积平稳图在 ℍ¹ 中是否为全局面积最小化曲面？
• RQ5 在解具有 $C^2$ 正则性的假设下，能否解决 ℍ¹ 中的等周问题？

主要发现

• 具有非空奇点集的 ℍ¹ 中体积保持面积平稳 $C^2$ 曲面与旋转对称球面 $\mathbb{S}_\lambda$ 合同，该球面由连接两个定点的所有曲率 $\lambda$ 的测地线构成。
• 球面 $\mathbb{S}_\lambda$ 的面积为 $A(\mathbb{S}_\lambda) = \pi^2 / \lambda^3$，所围体积为 $V(\Omega_\lambda) = 3\pi^2 / (8\lambda^4)$。
• 一个类闵可夫斯基公式（公式 4.10）将体积保持面积平稳曲面的面积、平均曲率与体积关联起来，提供了关键的积分恒等式。
• 在 ℍ¹ 中，整个 $xy$-平面上的面积平稳图是全局面积最小化曲面，该结论通过标定法得以证明。
• 在 $C^2$ 正则性下，ℍ¹ 中的等周问题得以解决：唯一解为以球面 $\mathbb{S}_\lambda$ 为边界的集合，最优等周比为 $\alpha = (8/3)^3 \pi^2$。
• 该结果为欧氏空间中亚历山大洛夫唯一性定理在子黎曼几何中的对应结果：在体积约束下，紧致、连通、$C^2$ 的面积平稳曲面必为旋转对称球面。