[论文解读] Area-Universal Rectangular Layouts

David Eppstein, Elena Mumford+2 more|ArXiv.org|Jan 25, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文证明了一个矩形版面是面积通用的（即可以实现其区域的任意面积分配）当且仅当它是单侧的，其中每个最大线段都是具有一致T型接头方向的矩形的一条边。作者提出了一种数值算法来计算此类版面，并证明对于任意版面，最多只有一个组合等价的版面能实现给定的面积或周长分配，从而实现了从邻接约束高效构建面积通用版面。

ABSTRACT

A rectangular layout is a partition of a rectangle into a finite set of interior-disjoint rectangles. Rectangular layouts appear in various applications: as rectangular cartograms in cartography, as floorplans in building architecture and VLSI design, and as graph drawings. Often areas are associated with the rectangles of a rectangular layout and it might hence be desirable if one rectangular layout can represent several area assignments. A layout is area-universal if any assignment of areas to rectangles can be realized by a combinatorially equivalent rectangular layout. We identify a simple necessary and sufficient condition for a rectangular layout to be area-universal: a rectangular layout is area-universal if and only if it is one-sided. More generally, given any rectangular layout L and any assignment of areas to its regions, we show that there can be at most one layout (up to horizontal and vertical scaling) which is combinatorially equivalent to L and achieves a given area assignment. We also investigate similar questions for perimeter assignments. The adjacency requirements for the rectangles of a rectangular layout can be specified in various ways, most commonly via the dual graph of the layout. We show how to find an area-universal layout for a given set of adjacency requirements whenever such a layout exists.

研究动机与目标

• 确定矩形版面为面积通用的必要且充分条件。
• 开发一种算法，计算任意给定版面的组合等价版面，以实现指定的面积分配。
• 将分析扩展至周长分配，证明类似的唯一性和可计算性结果。
• 从给定的邻接约束（通过对偶图或生成树）构建面积通用版面。
• 超越切片型或L形可破坏型等特殊类别，提供统一的特征刻画。

提出的方法

• 将单侧版面定义为：每个最大线段都是某矩形的一条边，且T型接头方向一致远离该线段。
• 利用线段邻接的组合与几何约束，证明版面是面积通用的当且仅当它是单侧的。
• 提出一种数值算法，为任意单侧版面计算匹配给定面积分配的版面（允许缩放）。
• 证明对于任意版面和面积分配，最多存在一个组合等价的版面，从而实现解的唯一恢复。
• 将唯一性结果扩展至周长分配，证明其存在性与多项式时间可计算性。
• 通过递归放置子树（左根版面放右侧，下根版面放上方）从给定的对偶生成树构建面积通用版面，确保单侧性。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么特征决定了一个矩形版面能够实现其区域的任意面积分配？
• RQ2 对于给定的版面和面积分配，是否可以计算出一个唯一（允许缩放）的等价版面？
• RQ3 在何种条件下，对偶图能容纳一个面积通用的矩形版面？
• RQ4 能否从一组给定的邻接约束高效构建面积通用版面？
• RQ5 面积分配的结果如何推广到周长分配？

主要发现

• 矩形版面是面积通用的当且仅当它是单侧的，其中每个最大线段都是具有一致T型接头方向的矩形的一条边。
• 对于任意矩形版面和任意面积分配，最多存在一个组合等价的版面（允许缩放），确保了解的唯一性。
• 存在一种数值算法，可为单侧版面计算匹配给定面积分配的版面，其结果与目标面积高度接近。
• 给定一个对偶生成树，可使用递归放置策略在O(n)时间内构建面积通用版面，且确保单侧性。
• 相同的唯一性和可计算性结果也适用于周长分配，存在多项式时间算法以确定其存在性并计算解。
• 该方法超越了切片型或L形可破坏型等特殊类别，为面积通用性提供了广泛而统一的特征刻画。