[论文解读] Arens Regularity of Module Actions and the Second Adjoit of a Derivation

Somayeh Mohammadzadeh, Hamid Reza Ebrahimi Vishki|ArXiv.org|Nov 10, 2007

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了一个关于赋范空间上有界双线性映射 Arens 正则性的新准则，表明一个双线性映射 $ f $ 是 Arens 正则的，当且仅当 $ f^{****}(Z^*, X^{**}) \subseteq Y^* $。该准则被应用于推导出从一个对偶 Banach 模到其对偶的导子 $ D: A \to X^* $ 的第二伴随映射再次成为导子的充要条件，推广了早期结果，并为已知定理提供了直接证明。

ABSTRACT

In this paper, first we give a simple criterion for the Arens regularity of a bilinear mapping on normed spaces, which applies in particular to Banach module actions and then we investigate those conditions under which the second adjoint of a derivation into a dual Banach module is again a derivation. As a consequence of the main result, a simple and direct proof for several older results is also included.

研究动机与目标

• 为赋范空间上有界双线性映射的 Arens 正则性提供一个新且简洁的准则。
• 研究导子 $ D: A \to X^* $ 的第二伴随映射 $ D^{**} $ 在何时自身仍为导子。
• 推广并为 Banach 模理论中关于 Arens 正则性与导子的若干已知结果提供直接证明。
• 将结果从特殊情形 $ X = A $ 推广至一般的 Banach $ A $-模。

提出的方法

• 引入 Arens 正则性的新刻画：当且仅当 $ f^{****}(Z^*, X^{**}) \subseteq Y^* $ 时，$ f $ 是正则的，其中 $ f: X \times Y \to Z $ 是一个有界双线性映射。
• 将此准则应用于 Banach 模作用，通过两种 Arens 乘积结构，自然地将模作用从 $ A $ 扩展到 $ A^{**} $。
• 利用 Arens 乘积结构分析导子 $ D: A \to X^* $ 的第二伴随映射 $ D^{**} $，重点关注其在 $ X^{***} $ 中的行为。
• 证明 $ D^{**} $ 是导子当且仅当 $ \pi_2^{****}(D^{**}(A^{**}), X^{**}) \subseteq A^* $，通过对偶性与弱*拓扑论证。
• 利用弱紧性与模作用的正则性，推导出 $ D^{**} $ 为导子的充分条件。
• 通过弱*网的极限表达 $ f^{***} $ 与 $ f^{r***r} $ 之间的对偶关系，刻画正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从对偶 Banach 模 $ X^* $ 取值的导子 $ D: A \to X^* $ 的第二伴随映射 $ D^{**} $ 本身仍为导子？
• RQ2 第二伴随映射保持导子性质的充要条件是什么？
• RQ3 模作用的 Arens 正则性与导子第二伴随映射的正则性之间有何关系？
• RQ4 准则 $ f^{****}(Z^*, X^{**}) \subseteq Y^* $ 是否可用于推广关于导子 Arens 正则性的已知结果？
• RQ5 导子的弱紧性在确保 $ D^{**} $ 为导子的过程中起什么作用？

主要发现

• 有界双线性映射 $ f: X \times Y \to Z $ 是 Arens 正则的，当且仅当 $ f^{****}(Z^*, X^{**}) \subseteq Y^* $，这为正则性提供了新且简洁的准则。
• 导子 $ D: A \to X^* $ 的第二伴随映射 $ D^{**} $ 是导子当且仅当 $ \pi_2^{****}(D^{**}(A^{**}), X^{**}) \subseteq A^* $，该结果推广了 Dales、Rodriguez-Palacios 与 Velasco 的结果。
• 若模作用 $ \pi_2 $ 是 Arens 正则的，则 $ D^{**} $ 是 $ (A^{**}, \Box) $ 上的导子；若 $ \pi_1 $ 是正则的，则 $ D^{**} $ 是 $ (A^{**}, \lozenge) $ 上的导子，从而推广了已知结果。
• 对于弱紧导子，仅需 $ \pi_2 $ 或 $ \pi_1 $ 的正则性，即可保证 $ D^{**} $ 在相应 Arens 乘积结构下为导子。
• 若模作用是 Arens 正则的，则内导子 $ D: A \to X^* $ 是弱紧的，且其第二伴随映射在 $ (A^{**}, \Box) $ 与 $ (A^{**}, \lozenge) $ 上仍为内导子。
• 本文通过新正则性准则与对偶技术，为若干早期结果（包括 Dales 等人的工作 [10]）提供了直接证明。