[论文解读] Arithmetic Circuits and the Hadamard Product of Polynomials

V. Arvind, Pushkar S. Joglekar+1 more|ArXiv.org|Jul 23, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文引入了多元非交换多项式上的Hadamard积，并研究其在算术电路与代数分支程序（ABPs）中的复杂性。证明了在有理数域上，非交换ABP恒等测试是C=L-完全的，而在特征为p的有限域上，其属于ModpL/poly。主要贡献是：对于Raz-Yehudayoff多项式，将其表示为两个单调多重线性多项式Hadamard积时存在指数级下界，这与可被二次规模表示的永久多项式形成鲜明对比。

ABSTRACT

Motivated by the Hadamard product of matrices we define the Hadamard product of multivariate polynomials and study its arithmetic circuit and branching program complexity. We also give applications and connections to polynomial identity testing. Our main results are the following. 1. We show that noncommutative polynomial identity testing for algebraic branching programs over rationals is complete for the logspace counting class $\ceql$, and over fields of characteristic $p$ the problem is in $\ModpL/\Poly$. 2.We show an exponential lower bound for expressing the Raz-Yehudayoff polynomial as the Hadamard product of two monotone multilinear polynomials. In contrast the Permanent can be expressed as the Hadamard product of two monotone multilinear formulas of quadratic size.

研究动机与目标

• 在算术电路复杂性的背景下，定义并分析多元非交换多项式上的Hadamard积。
• 刻画在有理数域和有限域上，非交换多项式恒等测试（PIT）在代数分支程序（ABPs）中的复杂性。
• 建立将某些显式单调多重线性多项式表示为两个单调多重线性多项式Hadamard积时的指数下界。
• 利用Hadamard积框架，对有理数域上的非交换ABP恒等测试提供紧致的复杂性刻画。
• 对比Hadamard积在Raz-Yehudayoff多项式与永久多项式之间的表达能力，揭示电路复杂性中的根本不对称性。

提出的方法

• 将两个非交换多项式f和g的Hadamard积定义为f ◦g = Σ_m a_m b_m m，其中f = Σ_m a_m m，g = Σ_m b_m m，且m取自自由幺半群X*中的单项式。
• 利用Nisan对ABP复杂性的通信矩阵秩刻画，通过f和g的ABP大小的乘积来界定f ◦g的ABP大小。
• 设计一个确定性对数空间算法，利用矩阵Hadamard积的基于秩的上界，计算f ◦g的ABP。
• 通过分析显式Raz-Yehudayoff多项式F与1/3-积多项式乘积之间的相关性，推导出下界。
• 应用Raz和Yehudayoff的引理3，该引理将单调多重线性多项式表示为1/3-积多项式的和，以分解目标多项式。
• 结合三角不等式与引理2中的相关性上界，推导出计算Hadamard积表示的单调电路大小的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有理数域上，非交换多项式恒等测试在代数分支程序中的复杂性是什么？
• RQ2 两个多重线性多项式的Hadamard积如何影响其电路复杂性，特别是在单调情形下？
• RQ3 Raz-Yehudayoff多项式能否表示为两个小规模单调多重线性多项式的Hadamard积？
• RQ4 多项式Hadamard积与复杂性类C=L和ModpL之间存在何种关系？
• RQ5 在单调多重线性设置下，Hadamard积在永久多项式与Raz-Yehudayoff多项式之间的表达能力有何不同？

主要发现

• 在有理数域上，非交换ABP恒等测试是C=L-完全的，提供了紧致的复杂性刻画。
• 在特征为p的有限域上，非交换ABP恒等测试属于ModpL/poly，且在对数空间单射归约下，对NL和ModpL均是难的。
• 若每个单调电路的大小小于2^αn（α > 0为某绝对常数），则Raz-Yehudayoff多项式无法表示为两个单调多重线性多项式的Hadamard积。
• 永久多项式可表示为两个此类公式之Hadamard积，且大小为二次规模，与Raz-Yehudayoff多项式形成鲜明对比。
• Raz-Yehudayoff多项式F与任意1/3-积多项式f1 ◦ f2的Hadamard积之间的相关性至多为2^−αn ||F|| ||f1 ◦ f2||（α > 0），该性质使下界证明成为可能。
• 下界构造给出了一个显式单调多重线性多项式F′ ∈ ℚ[x1,…,xn]，其表示为两个单调多重线性多项式Hadamard积时，需要指数规模的单调电路。