[论文解读] Arithmetic degrees of special cycles and derivatives of Siegel Eisenstein series

Jan Hendrik Bruinier, Tonghai Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用 9

一句话总结

本文证明了Kudla提出的猜想，即关于正交Shimura簇上特殊循环的算术度与其非一致Siegel Eisenstein级数的中心导数之间的关系。通过在阿基米德和非阿基米德位置建立新的局部算术Siegel-Weil公式，本文在$T$非正定的情况下证明了非奇异指标$T$的情形，以及在对应循环维数为零时$T$为正定的情形。

ABSTRACT

Let V be a rational quadratic space of signature (m,2). A conjecture of Kudla relates the arithmetic degrees of top degree special cycles on an integral model of a Shimura variety associated with SO(V) to the coefficients of the central derivative of an incoherent Siegel Eisenstein series of genus m+1. We prove this conjecture for the coefficients of non-singular index T when T is not positive definite. We also prove it when T is positive definite and the corresponding special cycle has dimension 0. To obtain these results, we establish new local arithmetic Siegel-Weil formulas at the archimedean and non-archimedian places.

研究动机与目标

• 证明Kudla猜想，即关于整模型上正交Shimura簇上高阶特殊循环的算术度与非一致Siegel Eisenstein级数中心导数的系数之间的关系。
• 通过在阿基米德和非阿基米德位置建立局部算术Siegel-Weil公式，将经典Siegel-Weil公式推广至算术情形。
• 在$T$非正定时验证非奇异指标$T$的情形，以及在对应特殊循环维数为零时$T$为正定的情形。
• 通过Siegel模形式和$L$-函数的视角，深化对特殊循环算术交点理论的理解。
• 将算术Siegel-Weil公式推广，以包含$p$-进和阿基米德贡献，适用于$p$-无模格和局部系统。

提出的方法

• 利用Weil表示和对称空间$\mathcal{D}$上的theta级数，在阿基米德和非阿基米德位置建立新的局部算术Siegel-Weil公式。
• 使用Kudla-Millson的Schwartz型函数$\varphi_{KM}^n(x,z)$构造变换权为$\kappa = 1 + m/2$的theta级数$\theta_{KM}^n(\tau,\varphi,z,h)$，其在$\mathrm{Sp}_n(\mathbb{R})$下变换。
• 将theta级数在Shimura簇$X_K$上积分，得到特殊循环度数的生成级数，证明其等于一个Siegel Eisenstein级数。
• 应用加倍法和$p$-进统一化方法，通过$W_{T,p}^\prime(1,0,\lambda(\varphi_L))$将算术度$\widehat{\deg}_p(\mathcal{Z}(T))$与标准$L$-函数的导数联系起来。
• 利用归一化常数$C_{n,p} = -B_{n,\infty} \frac{C(L)}{\mathrm{vol}(K,d_L h)}$，使Eisenstein级数的傅里叶系数与算术度匹配。
• 借助[She, 定理1.2]中的$p$-进统一化恒等式，通过从$\mathcal{X}_{K_1} \to \mathcal{X}_K$的下降法，将公式推广至一般紧开子群$K$。

实验结果

研究问题

• RQ1 正交Shimura簇上高阶特殊循环的算术度是否等于非一致Siegel Eisenstein级数中心导数的系数？
• RQ2 能否在阿基米德和非阿基米德位置建立局部算术Siegel-Weil公式以支持全局猜想？
• RQ3 当指标$T$非正定或循环维数为零时，算术度的行为如何？
• RQ4 将算术度与Eisenstein级数导数关联的精确归一化常数是什么？
• RQ5 该猜想在多大程度上可超越$p$-无模格和小水平子群进行推广？

主要发现

• 当$T$非正定时，对所有非奇异指标$T$，该猜想已得证，建立了算术度与非一致Siegel Eisenstein级数中心导数之间的精确联系。
• 当对应特殊循环维数为零时，对正定$T$，该猜想亦得证，将有效性扩展至零维循环的情形。
• 有限素数$p$处的算术度为$\widehat{\deg}_p(\mathcal{Z}(T)) = C_{n,p} \cdot E_T'(\tau,0,\lambda(\varphi_L)\otimes\Phi_\kappa)$，其中$C_{n,p} = -B_{n,\infty} \frac{C(L)}{\mathrm{vol}(K,d_L h)}$。
• 阿基米德贡献满足$-\frac{1}{2}B_{n,\infty} \cdot W_{T,\infty}(1,0,\Phi_\kappa) = e^{-2\pi \operatorname{tr} T}$，从而在生成级数中产生$q^T$项。
• 该公式对所有$K$-不变的Schwartz函数$\varphi$及所有足够小的紧开子群$K$成立，通过从更高水平结构的下降实现。
• 在$p$-进位置给出局部算术Siegel-Weil公式的变体：对$p < \infty$，有$\mathrm{ht}_p(x)\log p = \frac{W_{T,p}^\prime(1,0,\lambda(\varphi_L))}{W_{\tilde{T},p}^\prime(1,0,\lambda(\varphi_L))}$，在无穷远处有类似表达式，但含因子$\frac{1}{2}$。