[论文解读] Arithmetic E_8 lattices with maximal Galois action

Anthony Várilly‐Alvarado, David Zywina|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文构造了来自 Q(t) 上椭圆曲线和 1 度 del Pezzo 曲面的 E8 格的显式算术例子，其伽罗瓦作用在 Mordell-Weil 格或几何 Picard 群上为最大，同构于完整的 Weyl 群 W(E8)。通过模 105 定义的 Weierstrass 模型和 del Pezzo 曲面，作者证明了 E8 格上的伽罗瓦表示是满射，从而得到无穷多个在 Q 上线性无关、伽罗瓦群为 W(E8) 的扩张。

ABSTRACT

We construct explicit examples of E_8 lattices occurring in arithmetic for which the natural Galois action is equal to the full group of automorphisms of the lattice, i.e., the Weyl group of E_8. In particular, we give explicit elliptic curves over Q(t) whose Mordell-Weil lattices are isomorphic to E_8 and have maximal Galois action. Our main objects of study are del Pezzo surfaces of degree 1 over number fields. The geometric Picard group, considered as a lattice via the negative of the intersection pairing, contains a sublattice isomorphic to E_8. We construct examples of such surfaces for which the action of Galois on the geometric Picard group is maximal.

研究动机与目标

• 构造算术设定下 E8 格的显式例子，使得其在 Mordell-Weil 格或几何 Picard 群上的伽罗瓦作用尽可能大。
• 通过来自椭圆曲面和 del Pezzo 曲面的算术格，在 Q 上实现完整的 Weyl 群 W(E8) 作为伽罗瓦群。
• 提供 Q(t) 上椭圆曲线的构造性、显式 Weierstrass 模型，其 Mordell-Weil 格同构于 E8 且携带最大伽罗瓦作用。
• 证明在 1 度 del Pezzo 曲面的几何 Picard 群中，典范类正交补上的伽罗瓦作用可满射到 W(E8)。

提出的方法

• 通过 Weierstrass 模型 y² = x³ + a(t)x² + b(t)x + c(t) 构造 Q(t) 上的椭圆曲线 E，其中 a(t)、b(t)、c(t) 为次数 ≤2、4、6 的多项式，且满足模 105 的特定同余条件。
• 利用 Mordell-Weil 格理论，证明 Mordell-Weil 群 E(Q(t))/E(Q(t))tors 作为伽罗瓦模同构于 E8 格。
• 通过加权射影空间中系数满足模 105 同余条件的齐次六次方程，构造 Q 上的 1 度 del Pezzo 曲面。
• 通过显式计算伽罗瓦表示，证明在几何 Picard 群中典范类正交补 K⊥_X 上的伽罗瓦作用同构于 W(E8)。
• 通过除子的爆破和拉回，建立椭圆曲面的 Mordell-Weil 格与 del Pezzo 曲面 Picard 群中 E8 格之间的同构。
• 利用关于 Néron-Severi 群和典范高度配对的已知结果，确保在基变换和商映射下格结构和伽罗瓦模结构保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造显式椭圆曲线 E over Q(t)，使得其 Mordell-Weil 格同构于 E8 且伽罗瓦作用最大，同构于 W(E8)？
• RQ2 是否存在 Q 上的 1 度 del Pezzo 曲面，使得其在几何 Picard 群（特别是 K⊥_X）上的伽罗瓦作用满射到 W(E8)？
• RQ3 此类伽罗瓦作用能否通过满足模 105 同余条件的多项式系数的 Weierstrass 模型实现？
• RQ4 能否利用算术格构造无穷多个在 Q 上线性无关、伽罗瓦群为 W(E8) 的扩张？
• RQ5 1 度 del Pezzo 曲面的几何结构如何与椭圆曲面及其 Mordell-Weil 格的算术相关联？

主要发现

• 定义为 y² = x³ + a(t)x² + b(t)x + c(t) 的椭圆曲线 E over Q(t)，其中 a(t)、b(t)、c(t) 满足模 105 的指定同余条件，其 Mordell-Weil 群 E(Q(t)) 同构于具有平凡扭子群的 E8 格。
• 伽罗瓦群 Gal(Q/Q) 在 E(Q(t)) 上的作用为完整的 Weyl 群 W(E8)，即作用为最大。
• 由加权射影空间中满足同余条件 (1.3) 模 105 的六次多项式 f 定义的 del Pezzo 曲面 X 是 Q 上的 1 度曲面，其几何 Picard 群包含一个 E8 格。
• 伽罗瓦表示 φX: Gal(Q/Q) → O(K⊥_X) 是满射，因此像同构于 W(E8)，证实了在 E8 格上伽罗瓦作用为最大。
• 通过消去形式 (1.2) 的有理点系数得到的多项式的分裂域 LX 的伽罗瓦群同构于 W(E8)，且此类域 LX 在 Q 上线性无关。
• 通过改变满足同余条件 (1.3) 的定义多项式 f，可构造无穷多个在 Q 上线性无关、伽罗瓦群为 W(E8) 的扩张。