[论文解读] Arithmetic, geometry and dynamics in the unit tangent bundle of the modular orbifold

Alberto Verjovsky|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文建立了模轨道丛单位切丛上 horocycle 流动力学与黎曼猜想之间的深刻联系。通过几何与遍历理论方法，证明了某些遍历测度向不变测度的收敛速率不可能超过 $ o(y^{1/2}) $，表明对于‘方块’特征函数而言，指数 $ 1/2 $ 是最优的——这一结果意味着黎曼猜想本质上是一个与非 $ L^1 $ 函数的黎曼-勒贝格引理失效相关的正则性问题。

ABSTRACT

Inspired by the work of Zagier, we study geometrically the probability measures $m_y$ with support on the closed horocycles of the unit tangent bundle $M= ext{PSL}(2,\mathbb{R})/ ext{PSL}(2,\mathbb{Z})$ of the modular orbifold $ ext{PSL}(2,\mathbb Z)$. In fact, the canonical projection $\mathfrak{p}:M o\mathbb{H}/ ext{PSL}(2,\mathbb Z)$ it is actually a Seifert fibration over the orbifold with two especial circle fibers corresponding to the two conical points of the modular orbifold. Zagier proved that $m_y$ converges to normalized Haar measure $m_o$ of $M$ as $y o0$: for every smooth function $f:M o \mathbb R$ with compact support $m_y(f)=m_0(f)+o(y^\frac12)$ as $y o0$. He also shows that $m_y(f)=m_0(f)+o(y^{\frac34-ε})$ for all $ε>0$ and smooth function $f$ with compact support in $M$ if and only if the Riemann hypothesis is true. In this paper we show that the exponent $\frac12$ is optimal if $f$ is the characteristic function of certain open sets in $M$. This of course does not imply that the Riemann hypothesis is false. It is required the differentiability of the functions in the theorem.

研究动机与目标

• 研究模轨道丛单位切丛上 horocycle 流遍历测度 $ m_y $ 向不变测度 $ \overline{m} $ 的收敛速率。
• 确定扎吉耶尔关于黎曼猜想的准则中指数 $ 3/4 - \epsilon $ 是否可对光滑函数实现。
• 证明在动力系统中，'方块'特征函数的收敛速率最优指数为 $ 1/2 $，表明存在根本性障碍，无法进一步提升收敛速率。

提出的方法

• 使用几何与群论技术，将 $ m_y $ 到 $ \overline{m} $ 的收敛分析简化为平面中的格点计数问题。
• 利用 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ 及其离散商 $ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}) $ 的作用，对单位切丛 $ T_1\mathbb{H} $ 上的动力系统进行建模。
• 对光滑紧支集函数应用泊松求和公式，表明其误差项衰减快于任意 $ y $ 的幂次，这是由于傅里叶变换的快速衰减。
• 通过单参数子群 $ h_t^+ $ 和 $ h_t^- $ 以及测地流 $ g_t $ 分析 horocycle 流，三者均保持归一化的哈尔测度 $ \overline{m} $。
• 依赖丹尼定理：支持在周期为 $ y^{-1} $ 的闭 horocycle 上的遍历测度 $ m_y $，并证明当 $ y \to 0 $ 时弱*收敛于 $ \overline{m} $。
• 使用梅林变换与艾森斯坦级数，将动力系统与算术函数（特别是欧拉函数 $ \varphi(n) $）联系起来，并关联到黎曼 zeta 函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对所有光滑函数 $ f $ 实现表征黎曼猜想的收敛速率 $ m_y(f) = \overline{m}(f) + o(y^{3/4 - \epsilon}) $？
• RQ2 即使 $ f $ 是某个‘方块’的特征函数，误差项中指数 $ 1/2 $ 的 $ o(y^{1/2}) $ 是否仍为最优？
• RQ3 最优指数 $ y^{1/2} $ 的几何与动力学原因是什么？它与格点计数中经典圆问题的误差项有何关联？
• RQ4 非 $ L^1 $ 函数的黎曼-勒贝格引理失效在该动力系统中如何体现？为何这使得黎曼猜想本质上是一个正则性问题？
• RQ5 能否通过欧拉函数关联 horocycle 测度与狄利克雷级数，进而导出新的算术结果？

主要发现

• 在单位切丛中，'方块'特征函数的收敛速率 $ m_y(f) = \overline{m}(f) + o(y^{1/2}) $ 是最优的，意味着指数 $ 1/2 $ 无法被改进。
• 黎曼猜想等价于对所有光滑紧支集函数 $ f $，有 $ m_y(f) = \overline{m}(f) + o(y^{3/4 - \epsilon}) $，但该界对特征函数不可达。
• 非 $ L^1 $ 函数的黎曼-勒贝格引理失效是 $ y^{1/2} $ 指数最优的根本原因，表明黎曼猜想本质上是一个正则性条件。
• 对于具有紧支集的光滑函数 $ f $，误差项 $ |m_y(f) - \overline{m}(f)| $ 衰减快于任意 $ y $ 的幂次，这是由傅里叶变换的快速衰减决定的，如泊松求和公式所示。
• 与欧拉函数 $ \varphi(n) $ 关联的测度 $ \nu_{y,\varphi} $ 的梅林变换表明，黎曼猜想等价于当 $ y \to 0 $ 时，误差项 $ y^2 \nu_{y,\varphi}(g) = \int_0^\infty \frac{6}{\pi^2} u g(u) du + o(y^{3/2 - \epsilon}) $。
• 将收敛问题几何化为平面中格点计数，表明 $ y^{1/2} $ 界与相对互素格点情形下经典圆问题的误差项具有类比关系。