[论文解读] Arithmetic Groups Have Rational Representation Growth

Nir Avni|ArXiv.org|Mar 10, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 5

一句话总结

该论文证明了对于具有同余子群性质的数域上半单代数群的算术格，其表示zeta函数的收敛横坐标为有理数。通过利用由Margulis强刚性及Igusa-Denef p进积分方法导出的局部zeta函数与Euler乘积分解，作者表明不可约表示的多项式增长速率由有理指数控制，从而解决了算术群表示增长中的一个关键问题。

ABSTRACT

Let G be an arithmetic lattice in a semisimple algebraic group over a number field. We show that if G has the congruence subgroup property, then the number of n-dimensional irreducible representations of G grows like n^a, where a is a rational number.

研究动机与目标

• 确定具有同余子群性质的算术格的表示zeta函数收敛横坐标的性质。
• 证明此类群的不可约表示的增长率是具有有理指数的多项式增长。
• 通过分析数域及其完备化上的局部zeta函数，扩展对算术群表示增长的理解。
• 通过将zeta函数分解为阿基米德与非阿基米德局部因子，证明收敛横坐标为有理数。

提出的方法

• 证明使用了算术格Γ的有限指数子群Δ的表示zeta函数的类似Euler的分解，将其分解为一个阿基米德因子与所有非阿基米德素位的乘积。
• 应用Igusa与Denef的p进积分技术，分析每个素数p处的局部zeta函数，将其表示为p^s的有理函数之和。
• 该方法依赖于控制有限域上表示数目的V-函数与R-函数的存在性，从而通过指数和实现渐近分析。
• 通过分析Artin集合中素数的无限乘积的极点与收敛行为，确定收敛横坐标，结合密度论证与素数zeta函数的比较。
• 将素数集合划分为有限个Artin集合，从而在每个集合上实现对局部zeta函数的统一渐近控制。
• 证明全局zeta函数的收敛横坐标为各局部因子收敛横坐标的最大值，且每个局部因子的收敛横坐标均为有理数。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有同余子群性质的算术格的表示zeta函数的收敛横坐标是否为有理数？
• RQ2 此类格的表示增长是否能以有理指数描述其多项式增长率？
• RQ3 有限位置处的局部zeta函数如何贡献于全局收敛横坐标？
• RQ4 Artin集合与素数上的统一渐近行为在确定收敛横坐标中起什么作用？

主要发现

• 具有同余子群性质的算术格Γ的表示zeta函数的收敛横坐标αΓ为有理数。
• 阿基米德局部因子ζG(C)(s)的收敛横坐标为有理数，此结论已在先前工作[15]中确立。
• 对每个非阿基米德位置，局部zeta函数ζGp(s)的收敛横坐标为有理数，其来源于有限域上R-函数与V-函数的结构。
• 在正解析密度集合A上，无限乘积∏p∈A ζGp(s)的收敛横坐标为有理数，且等于max{∑Bj + di + 1 / (ei + ∑Aj), max{Bj / Aj}}。
• 通过与∏(1 + 1/p)和∏(1 + 1/p^{1+ε})的比较，控制乘积的收敛行为，表明当s超过有理阈值时乘积收敛。
• 当限制到有限指数子群时，收敛横坐标保持不变，从而可将问题约化为具有因子分解zeta函数的群。