[论文解读] Arithmetic matrices for number fields I

Samuel A. Hambleton|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文引入了算术矩阵，将数域中的代数整数编码为整数矩阵，从而能够使用线性代数高效计算加法、乘法、求逆、迹和范数。关键贡献是基于积分基和域嵌入推导出的矩阵表示 $ M_{\bb{E}}^{(\theta)} $，该表示可通过对角化揭示代数不变量，并通过行列式乘法性推广婆什迦罗的恒等式。

ABSTRACT

We provide a simple way to add, multiply, invert, and take traces and norms of algebraic integers of a number field using integral matrices. With formulas for the integral bases of the ring of integers of at least a significant proportion of numbers fields, we obtain explicit formulas for these matrices and discuss their generalization. These results are useful in proving statements about the particular number fields they work in. We give a meaningful diagonalization that is helpful in this regard and can be used to define such matrices in general. The matrix identities provided suggest that consideration of numerical methods in linear algebra may have applications in algebraic number theory. Multiplication of several algebraic integers at once might be more efficiently implemented using methods of efficient matrix multiplication. If we are multiplying an algebraic integer in a field of degree $n$ by each of $n$ algebraic integers, then this can be done in $O \left( n^{\log_2(7)} ight)$ multiplications. The matrix identities given here generalize Brahmagupta's identity upon taking determinants, which are multiplicative.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，利用整数矩阵对数域中的代数整数进行算术运算。
• 利用矩阵表示将现有关于三次域的结果推广至高次域。
• 通过矩阵运算实现迹、范数和理想积的高效计算。
• 将线性代数技术（尤其是快速矩阵乘法）与代数数论相联系。
• 提供一种简化数域相关证明的框架，利用对角化矩阵形式。

提出的方法

• 构建一个 $ n \times n $ 矩阵 $ M_{\bb{E}}^{(\alpha)} $，通过固定的积分基 $ \{\rho_0, \dots, \rho_{n-1}\} 编码代数整数 $ \alpha = \sum_{j=0}^{n-1} x_j \rho_j $。
• 通过涉及最小多项式系数和基元素的递推公式定义矩阵元素，确保当 $ \alpha \in \mathcal{O}_\bb{E} $ 时矩阵元素为整数。
• 建立对角化关系 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} = \Gamma_{\bb{E}}^{-1} \Theta_{\bb{E}}^{(\alpha)} \Gamma_{\bb{E}} $，其中 $ \Gamma_{\bb{E}} $ 编码嵌入，$ \Theta_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ 是对角矩阵，对角线上为 $ \kappa_i(\alpha) $。
• 利用矩阵 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ 分别通过矩阵的迹和行列式计算迹和范数。
• 应用快速矩阵乘法算法（如斯特拉斯登算法）将 $ \alpha $ 与 $ n $ 个代数整数相乘的复杂度降低至 $ O(n^{\log_2 7}) $ 次运算。
• 通过行列式乘法性推广婆什迦罗恒等式：$ \det(N_{\bb{E}}^{(\alpha)} N_{\bb{E}}^{(\beta)}) = \det(N_{\bb{E}}^{(\alpha\beta)}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用整数矩阵高效表示和操作数域中的代数整数？
• RQ2 矩阵表示在多大程度上可简化数域中理想与格点相关证明？
• RQ3 使用矩阵方法将代数整数与多个其他代数整数相乘的计算复杂度是多少？
• RQ4 快速矩阵乘法算法在多大程度上可应用于代数数论？
• RQ5 算术矩阵的对角化形式如何反映数域的代数不变量？

主要发现

• 矩阵 $ M_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ 等于可对角化的矩阵 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $，后者编码了乘法作用 $ \alpha $ 在积分基上的表现。
• 矩阵加法与乘法恰好对应代数整数的加法与乘法：$ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} + N_{\bb{E}}^{(\beta)} = N_{\bb{E}}^{(\alpha + \beta)} $ 且 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} N_{\bb{E}}^{(\beta)} = N_{\bb{E}}^{(\alpha\beta)} $。
• 矩阵 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ 的迹等于 $ \alpha $ 的域迹，其行列式等于 $ \alpha $ 的域范数。
• 矩阵 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ 的逆对应于 $ N_{\bb{E}}^{(1/\alpha)} $，因此 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ 可逆当且仅当 $ \alpha \in \mathcal{O}_\bb{E}^\times $。
• 当且仅当 $ \alpha $ 是 $ \mathcal{O}_\bb{E} $ 中的代数整数时，矩阵 $ M_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ 的元素为整数。
• 在 $ n $ 次域中，使用快速矩阵乘法可将 $ \alpha $ 与 $ n $ 个代数整数相乘的运算次数降至 $ O(n^{\log_2 7}) $。